1.6. отступление от классических предпосылок

1.6. отступление от классических предпосылок

В этом параграфе рассматриваются следствия и возможные действия при различных вариантах отступлений от классических предпосылок.

Ошибка спецификации: переменные, не включенные в модель

До сих пор мы проводили анализ, предполагая, что исходная модель правильно специфицирована и удовлетворяет классическим допущениям. Представим себе, однако, что в модели отсутствует некоторое количество важных объясняющих переменных, а на самом деле истинная модель должна иметь вид:

Y = X$ + Zy + u, (1.70)

где Z — (Тх г)-матрица наблюдений; у — r-мерный вектор.

Таким образом, вместо уравнения (1.70) мы имеем дело с ошибочно специфицированной моделью Y = X$ + v, в которой пропущены г объясняющих переменных (omitted variables). Вектор остатков v = YХ$ этой регрессии может быть записан в виде:

v = MxY,

где Мх =І-Х(ХХУХХ'.

Подставляя истинное выражение для Y и пользуясь очевидным равенством МхХ = 0, получим v = Mx(X$ + Zy + u) = MxZy + Mxu и, следовательно,

E(v) = MxZy. (1.71)

Последнее означает, что вектор остатков v содержит пропущенные переменные Z и имеет математическое ожидание, равное вектору остатков регрессии Zy по X. Это позволяет использовать остатки v при тестировании на ошибки спефикации.

Выясним, являются ли МНК-оценки регрессии Y = X$ + v несмещенными. Подставляя выражение (1.70) в формулу для оценивания р = (ХХ)~] XY = PXY и используя равенство РхX = /, получим

£(p) = p + PrZy*p.

Следовательно, наличие пропущенных переменных приводит, вообще говоря, к смещенным оценкам. Однако, если X и Z ортогональны, т.е. X'Z 0, то смещения не будет.

Ковариационная матрица неклассического вида

В параграфе 1.5 перечислялись классические условия, накладываемые на случайные отклонения регрессионной модели — наличие нулевых средних, одинаковых дисперсий и отсутствие коррелиро-ванности между разными случайными отклонениями:

Е(и) = 0, Var(w) = а2/ .

Нарушение предпосылки о нулевых средних не влечет за собой больших проблем: оно легко преодолевается включением в уравнение регрессии свободного члена. Нарушение свойства гомоскеда-стичности случайных отклонений, т.е. условия диагональное™ ковариационной матрицы случайных отклонений и совпадения всех диагональных элементов, ведет к значительным последствиям.

Каждый диагональный элемент ковариационной матрицы представляет собой дисперсию очередного выборочного наблюдения. Если эти дисперсии разные, то речь идет о свойстве гетероскеда-стичности случайных отклонений (в противоположность свойству гомоскедастичности, при котором дисперсии одинаковы). Это означает, что компоненты вектора случайных отклонений могут иметь разные распределения.

Каждый недиагональный элемент ковариационной матрицы является ковариацией между двумя регрессионными отклонениями, соответствующими двум разным выборочным наблюдениям. (Например, элемент матрицы, стоящий в третьей строке и втором столбце это ковариация отклонений, относящихся к третьему и второму наблюдениям.) Если все недиагональные элементы равны нулю, то говорят, что отклонения некоррелированы, в противном случае имеет место сериальная коррелированность регрессионных отклонений.

Если вектор отклонений обладает свойством гетероскедастично-сти и/или сериальной коррелированное™, то ковариационная мат^ рица не будет иметь классического «скалярного» вида:

Е(ии') = П*о21. (1.72)

Так как доказательство несмещенности оценок, полученных обычным МНК, строится только на свойствах моментов первого порядка, то и в этом случае (несмотря на нарушения классических условий) мы также получим несмещенные и состоятельные оценки параметров модели. Однако распределение вектора обычных МНК-оценок будет другим, в частности, ковариационная матрица

оценок Р будет иметь вид:

Var(p) = Е[ф рХр р)'] = Е[(Х'ХУХ Х'ии'Х(ХХу1 ] =

= (XXylXf QX(XXyl, (1.73)

т.е. будет отличаться от аналогичной матрицы, полученной ранее в классическом случае, s2(XX)~x.

Существуют два возможных способа разрешения этой проблемы. Первый способ — преобразовать модель таким образом, чтобы

ковариационная матрица остатков стала «скалярной» и затем применять МНК. Это — так называемый обобщенный МНК (ОМНК). Заметим, что этот метод предполагает знание структуры ковариационной матрицы Второй способ — оценить Р обычным МНК,

так как полученные оценки будут несмещенными и состоятельными, но использовать состоятельную оценку матрицы Q для получения (с помощью формулы (1.73)) состоятельной оценки ковариационной матрицы Var(P) обычных МНК-оценок. Так как информация о структуре Q во втором подходе не используется, то будут получены менее эффективные оценки, чем при первом способе. В то же время второй способ представляется более удобным, поскольку состоятельное оценивание матрицы Q достигается вне зависимости от знания формы гетероскедастичности или сериальной коррелированности.

1.6.3. Обобщенный метод наименьших квадратов

Рассмотрим вариант обобщенной модели линейной регрессии

Y = X$ + u; "£(!/) = 0; £(іш') = a2Q, (1.74)

в котором предполагается, что Р и а2 неизвестны, a Q известна. В рамках модели (1.74) ковариационная матрица зависит только от одного неизвестного числового параметра а2, поэтому реализация ОМНК (оценка ковариационной матрицы отклонений) сведется к оцениванию а2.

Пусть Q — положительно определенная матрица, тогда, как известно из курса линейной алгебры, существует невырожденная матрица Р, такая что

PQP' = /,

откуда следует, что

Умножив (1.74) на Р, получим:

PY = PX$ + Pu,

или

7* = X*p + w*, (1.75)

где Y* = PY, А* = РХ9и* = Ри.

Вычислим коварационную матрицу остатков и заметим, что она имеет классический «скалярный вид»:

38

Е(и * и*') = Е(Рии'Р') = a2PQP' = а2/.

Тогда, в соответствии с теоремой Гаусса—Маркова, применив к (1.75) обычный МНК, получим наилучшие линейные, несмещенные оценки р:

Ромнк = (х *' X*) х *'Y* = (Х'Р'РХУ1 X'P'PY = = (Х' Q-lXylX' Q~lY.

(1.76)

Интуитивно понятно, что обобщенный МНК дает более эффективные оценки, чем обычный МНК, потому что он в определенном смысле «взвешивает» данные. Например, в случае гетероскедастичных и сериально некоррелированных регрессионных отклонений, наблюдения, соответствующие большим значениям дисперсии отклонений, будут вносить меньший вклад в формирование оценок (получат меньший вес), чем наблюдения, соответствующие меньшим дисперсиям отклонений.

Заметим, что для реализации ОМНК требуется знание матрицы Q . Вообще говоря, исследователь должен сначала оценить матрицу Q , а потом использовать эту оценку в дальнейшем анализе, например при вычислении соотношений типа (1.76). Таким образом, мы приходим к практически реализованной или доступной ОМНК-оценке. Способ оценивания матрицы Q будет зависеть от того, предполагает ли исследователь наличие гетероскедастичности, автокоррелированности или их сочетания.

1.6.4. Гетероскедастичность

Рассмотрим снова кейнсианскую функцию потребления, в которой считается, что текущее потребление yt зависит от текущего

дохода xt :

yt =Р1+Р2х/+є/.

(1.77)

При этом разумно предположить, что дисперсия случайных отклонений растет по мере роста дохода. Действительно, в соответствии с общей теорией потребления, индивидуум, имеющий больший доход, имеет и большие возможности разнообразить свое потребление. Предположим, к примеру, что дисперсия случайного отклонения пропорциональна квадрату дохода:

(1.78)

Разделим (1.77) на xt :

где у* =yt/xt; z* =

у* =ftz*+p2+s*

j xt , zt = &t I xt .

(1.79)

Дисперсия случайного отклонения в новом уравнении будет равна

D(et) = D(et)/xf = ах? їх] = а,

т.е. выполняется свойство гомоскедастичности. Тогда мы можем применить МНК к уравнению (1.79) и получить оптимальные оценки. Обобщая все вышесказанное, запишем уравнение в матричном виде:

(1.80)

і

Q = a

(1.81)

кт J

Заметим, что PQP' = aI — «скалярная» матрица, таким образом, ОМНК-оценки (т.е. МНК-оценки, полученные из (1.79)) будут иметь требуемые свойства.

Более общий метод, предложенный Уайтом (1980 г.), дает несмещенную оценку вектора (3, основанную на обычном МНК, и оценку

матрицы Q в виде диагональной матрицы с квадратами регрессионных остатков на диагонали:

2?

о

ё22

Q =

~2

(1.81, a)

Є j1

Уайт доказал, что

р \m(X'Xy' X' ОХ(ХХ) = (Х'ХУ] X' ПХ(ХХу],

7"->оо

значит, формула

-1

Var (Рмнк) = (ХХуХ' ПХ(ХХ)

может быть использована дая получения состоятельной оценки ковариационной матрицы МНК-оценок. В современных пакетах программ, таких как EViews, предусмотрено вычисление состоятельных стандартных ошибок дая МНК-оценок коэффициентов на основе приведенной формулы.

1.6.5. Автокорреляция

Для примера рассмотрим временной ряд с автокорреляцией остатков первого порядка:

д>,=Рі+Р2*/+є,;. (1.82) є, =peM+v,, (1.83) где vt — «белый шум», причем дая того, чтобы гарантировать стационарность ряда отклонений є,, будем считать, что |р| < 1:

£(vr) = 0; (1.84, а)

£(v2) = a2; (1.84, b)

E(vtvt_j) = 0 дляу^О. (1.84, с)

Если записать уравнение (1.82) дая момента времени /— 1, умножить его на р и затем полученное выражение вычесть из уравнения (1.82), то получим

у* =Pi(i-p) + M* +v,>

ГДЄ у* = (yt рум ), X* = (*, рхм ) .

Поскольку vt является белым шумом, применение МНК к преобразованному уравнению даст оптимальные оценки.

Для того чтобы показать эквивалентность данной процедуры оценивания и обсужденной ранее процедуры ОМНК, нам понадобится найти ковариационную матрицу вектора авторегрессионных случайных отклонений.

Мы уже обсуждали свойства AR(1) модели. В частности, уравнение (1.83) может быть переписано в виде:

є, = v, + pv,_, + р v,_2 + р v,_3 + р v,_4 + ... = I рч. (1.85)

Подставляя (1.85) в (1.82), мы видим, что уг подвержено влиянию серии остаточных членов с геометрически убывающими весами. Таким образом, процесс генерации ряда у — динамический (факт, который не является очевидным в (1.82)).

Из (1.85) мы имеем:

£(e,) = Xp''£(v(_,.) = 0,

/=0

(1.86)

что следует из предположения, что v — процесс белого шума (1.84, а). Таким образом, предположение о том, что случайные отклонения є, имеют нулевую среднюю, оказывается справедливым.

Теперь построим ковариационную матрицу для вектора є = (є1є2...єг)'. Используя (1.84, Ь) вычислим:

£(82) = ^(v2+p2V2_1+p4V2_2+p6V2_3+ ... +pV,V,4+p2V,V,_2 + ...) =

= E(v2) + p2E(v2) + p4E(vl2) + p6E(vl3)+ ... =

= а2[1 + р2 + р4 + р6 +...] = а2 /(1 р2). (1.87) Отметим, что смешанные произведения Evt_jVt_k в (1.87)

исчезают, поскольку v — некоррелированный процесс (1.84, с).

С помощью аналогичной процедуры, выводим ковариацию между двумя отклонениями, отстоящими на j периодов:

E(vtvt_j) = E(vtvt+j) = р'а2 /(1 -р2).

Таким образом, искомая ковариационная матрица может быть записана в виде:

Q = £(єє'):

?г-2

г-3

г-4

(1.88)

Теперь необходимо найти матрицу Р, такую что РТР = Q I Можно показать, что эта матрица равна

л/О-р2)

-р о о

о 1

-р о о о 1

-р

(1.89)

Если (1.82) записать в матричной форме

Y = X$ + e

и затем умножить на Р слева, то получим уравнение:

У* = Х*р + є*,

где

Уг~9У

Y* ■■

(1.90, а)

Ут-РУт-1

Х* =

(1.90, А)

■р2)-е,

8* =

(1.90, с)

Нетрудно показать, что s](l-p2) ■ є, имеет дисперсию а2, и не коррелирует с v, для t>2. Так что

Е(е*г*')

Таким образом, применяя обычный МНК к преобразованным данным, т.е. ОМНК к исходным, мы реализуем оптимальный метод оценивания. Этот метод отличается от интуитивной процедуры корректировки AR( 1)-отклонений только применительно к первому наблюдению.

На практике константа р, как правило, неизвестна. Следовательно неизвестна и матрица Q , поэтому этот параметр должен быть оценен. Существует несколько процедур, позволяющих произвести такое оценивание. Во-первых, это так называемая процедура Хилдре-та—Ли (Hildreth—Liu), в соответствии с которой производится поиск р по достаточно частой сетке значений из отрезка [—1, 1]. Для каждого значения р подсчитывается оценка ОМНК и сумма квадратов отклонений (У* Х*р)'(^К* — Х*р). Выбирается такое значение р, для которого сумма квадратов отклонений минимальна.

Другой алгоритм предложили Кохрейн и Оркатт (1994 г.).

Итерационная процедура Кохрейна—Оркатта начинается с МНК-оценивания параметров модели (1.82). Полученные несмещенные и состоятельные оценки позволяют получить вектор остатков. Результирующие оценки є могут теперь быть использованы в качестве «наблюдений» в регрессионной модели (1.83) и применение к ней МНК даст оценку для р. Это позволит найти ОМНК-оценки р и затем получить более эффективные оценки для є. Далее МНК применяется к новому набору остатков и находится более эффективная оценка р, которая снова используется для построения ОМНК-оценки, и т.д. Процедура прекращается, когда очередные оценки р оказываются практически неразличимыми.

1.6.6. Стохастические регрессоры

Второе классическое предположение, которое мы указали в параграфе 1.5, предполагало, что регрессоры нестохастичны и потому независимы от ошибок:

Е(Х'и) = 0.

Это предположение было необходимо для получения свойства несмещенности МНК-оценок. Однако предположение о неслучайности (детерминированности) регрессоров, т.е. постоянстве их значений в повторяющихся выборках, может оказаться слишком ограничительным. Например, в правой части модели в качестве регрес-сора может выступать лаговая зависимая переменная, отражая определенную степень инерционности в ее поведении. Вообще говоря, мало убедительны утверждения, что одни экономические показатели, такие, как потребление, ведут себя во времени стохастично, тогда как другие, такие, как доход, —нестохастичны. Более того, могут существовать случайные эффекты при измерении регрессоров, или рассматриваемое нами уравнение может как часть входить в какую-то систему одновременных уравнений, что влечет за собой наличие стохастической обратной связи между переменными.

Если регрессоры являются случайными (недетерминированными), но выполняется предположение об их независимости со случайными ошибками, то можно показать, что большинство привычных свойств для МНК-оценок сохраняется. Свойства МНК-оценок регрессоров, построенных по малым выборкам, в предположении стохастичности регрессоров не могут быть прежними, хотя в значительной мере остаются таковыми, если имеет место одномоментная некоррелированность (contemporaneously uncorrelation) регрессоров и регрессионных отклонений (т.е. нулевая корреляция между указанными величинами, рассматриваемыми в одни и те же моменты времени).

Рассмотрим общую линейную модель, в которой отсутствует предположение о нестохастичности матрицы плана X:

7=Jfp + w. (1.91)

Пусть ковариационная матрица регрессионных отклонений имеет классический вид. Если выполняются следующие условия:

рШТ-1Х'Х = Ъ (1.92, а)

pimT-{X'u = 09 (1.92, Ь)

где Е — невырожденная матрица, то МНК-оценка будет состоятельной: /?limp = /?lim(X'X)-^^

Т~>со г-»оо г->оо

= $ + рЩХХу1Хи =$ + р\т(Т~хХХух ріЩТ^Х'и) =

=р+ю=р.

Предположения (1.92) заменяют второе классическое условие. Предположение (1.92, а) будет выполняться, если матрица X состоит из реализаций стационарного многомерного стахастического процесса с невырожденной одномоментной ковариационной матрицей. Можно также показать, что стандартные формулы для оценки дисперсии регрессионных отклонений и ковариационной матрицы векторной МНК-оценки р также будут состоятельны.

1.6.7. Ошибки измерения переменных

Причиной стохастичности регрессоров могут оказаться ошибки в измерениях переменных. Однако в этом случае МНК-оценки оказываются несостоятельными.

Пусть, например, известно, что Y и X связаны точной линейной связью:

7 = Хр, (1.93)

но вместо непосредственного наблюдения X и Y мы наблюдаем переменные X и Y, которые могут быть «загрязнены» случайными ошибками измерения ^ и ц:

Х = Х + ^ (1.94, а)

Т = 7 + ц. (1.94, Ъ)

Предположение об отсутствии автокорреляции в ошибках измерения не всегда разумно. Например, если X — предложение денег, то имеет смысл предположить, что ошибки измерения подчиняются модели скользящей средней первого порядка:

C,=v,+evM, (1.95)

где v, — белый шум.

Такая модель описывает механизм формирования ошибок измерения, в котором ошибка такущего периода имеет тенденцию компенсироваться на долю 0 в следующем периоде.

Подставляя (1.93) в (1.94), имеем:

7 = Хр + ю, (1.96, а)

где

co = jli-PC. (1.96, b)

Если допустить, что ошибки измерения некоррелированны, то ковариационная матрица для со будет иметь вид:

Дсосо') = а2/ + р2а^/ = а2/, (1.97)

где а2 и — дисперсии £и jn соответственно.

Из (1.97) ясно, что со имеет классическую («скалярную») ковариационную матрицу.

Из уравнений (1.96, а) и (1.96, Ь) ясно, что остатки со в (1.96, а) коррелированны с регрессорами Х9 что нарушает одно из классических предположений, обсужденных нами в разделе 1.5 и необходимых для получения свойства несмещенности МНК-оценок. Более того, МНК-оценки не являются более состоятельными (хотя условие (1.92, а) может выполняться, но условие (1.92, Ь) будет нарушено):

plimT^XX = 1;

г->оо

р lim T~l(o = p lim T~l (X + Q '(ц pQ = ф 0.

Таким образом,

/7ІітР = /7Ііт(^')~1ХТ = /7Ііт(ХУ)-1ХЧ^Р + со) =

= $ + р\тТ(ХХух pimT(XXyl рПтТ~1Х'(о = -pa^S"1 * р.

г->оо г-юо г-хю

1.6.8. Одновременные уравнения

и инструментальные переменные

Корреляция между объясняющими переменными и регрессионными отклонениями может возникать при наличии системы одновременных уравнений. В системе таких уравнений существует одномоментная обратная связь между эндогенными переменными системы. МНК по каждому отдельному уравнению, таким образом, дает смещенные и несостоятельные оценки параметров.

Можно реализовать одновременное оценивание всех уравнений модели, однако часто на практике нужно оценить лишь отдельное структурное уравнение. Тем не менее следует понимать, что рассматриваемое уравнение может являться частью более широкой одновременной системы и тогда МНК неприменим. Состоятельные оценки могут быть получены методом инструментальных переменных (ИП) по отдельным уравнениям, хотя не всегда ясно, как выбрать определенный набор инструментальных переменных и будут ли они независимы от остатков. Метод инструментальных переменных — это процедура оценки отдельного уравнения, которая не анализирует информацию, содержащуюся в остальных уравнениях системы.

Метод инструментальных переменных (ИП) основан на следующем подходе: выбирается набор переменных (инструментов), которые удовлетворяют классическим предпосылкам, и эти переменные используются для построения «заменителей» для эндогенной переменной.

ИП-оценивание проводится следующим образом. Пусть имеется линейная регрессионная модель, в которой набор регрессоров состоит из двух частей: первая (Х) состоит из к переменных, асимптотически некоррелированных с ошибками и; вторая (А^) состоит из kj. переменных, коррелированных с ошибками и. Таким образом,

7 = Xp + w = (X1,X2)p + w, (1.98)

где

рХтТ-Ххи) = Ъ (1.99, а)

г-»оо

р\тТ-Х2и)*Ъ. (1.99, Ь)

т-»оо

Предположим, что существует набор W из ^ переменных, называемых инструментальными, которые обладают следующими свойствами:

рХтТ~\¥[и)^Ъ (1.100)

г-юо

p\mT-w'xX2)*Q.

г-»оо

Отсюда W некоррелированно в пределе с ошибками и и существует ненулевая корреляция между W и Xi (с матрицей асимптотически постоянных моментов WXj).

Полная матрица инструментальных переменных состоит из двух подматриц

W = (WX9XX (1.101)

где Х — собственные инструментальные переменные; W замещают А2. Умножим (1.98) на W* и возьмем предел по вероятности:

р1ітГ~Ч^Т) = р1ітГ"Ч^,^)Р + р1ітГ"Ч^,м). (1.102)

г-»оо г-»оо г->оо

Рассмотрим выборочные моменты в качестве оценок соответствующих теоретических величин (существование которых мы здесь предполагаем); используя уравнения (1.100), легко убедиться, что

Рип ~~~ оценка инструментальных переменных имеет вид

Vm=(W'X)-W'Y). (1.103)

Отметим, что, если все переменные X удовлетворяют классическим предпосылкам, тогда Wсовпадает сій это уже обычная МНК-оценка. Асимптотическая ковариационная матрица ИП-оценки

(которую мы обозначим Var(pHn)) может быть представлена в следующем виде. Подставляя (1.98) в (1.104), получим

lm-V = (W'Xrx(W'u). (1.104)

Имеем:

Уаг(рип) = рИтГ(^) pimT~l(W*uu*W)x

г-юо г-юо

х р Ііт Т(Х' Wyx = a2 (WXyx (W' W)(X Wyl.

г-юо

(1.105)

Оценка рип — состоятельна (см. (1.105)), используя (1.99), (1.100) и (1.101), остатки

йип=У-*рип (1.106) могут быть использованы для получения состоятельной оценки а2:

4п=(йип"ип)/^ (1.Ю7)

Отметим, что X, а не W используется в (1.106), и что (1.105) превратится в формулу для МНК, когда Хи W совпадают.

Теперь в иллюстративных целях обратимся к простейшей системе одновременных уравнений с двумя уравнениями:

У = аУ2 + Рхі + єі 9 (1.108, а)

У г =УУ +6*2 +є2> (1.108, b)

где

Є/~ЛГ(0, а2/); р1іт(х;єу)/Г = 0 (U7 = 1, 2);

г-юо

E(eus2t) = E(z[ts2t_j) = 0.

Чтобы избежать проблем, возникающих в связи с одновременностью эндогенных переменных уь y2t, мы предполагаем, что случайные откло

нения в обоих уравнениях являются процессами белого шума и что между отклонениями разных уравнений нет одномоментной связи. Приведенная форма уравнений системы имеет вид:

yu=xun}l+x2tnl2+vu;

(1.109, а)

y2t=xun2l+x2tn22+v2n

(1.109, b)

где

яп =(1-0X7)-^;

я,2 = (1 ау)"1 а0; я21 = (1 ау)"1 ур; л22 = (1 ау) 8;

vu = (1 ау) (еи + ає2/); v2/ = (1 ау) (є2/ + ує^).

Важно заметить, что в (1.109, а) и (1.109, Ь) переменные уи, y2t зависят от линейной комбинации структурных отклонений є//(/= 1, 2). Это происходит благодаря одновременности системы и, таким образом, классические предпосылки из параграфа 1.5 не выполняются, так же как и условия (1.92, А), откуда следует, что МНК-оценки будут смещенными и несостоятельными. Для построения состоятельных оценок коэффициентов системы одновременных уравнений используется метод инструментальных переменных.

В данной главе мы рассмотрели стандартные эконометрические результаты МН К-оценивания отдельного уравнения, показали, что при определенном наборе предпосылок МНК позволяет получить оптимальные оценки, а также, что использование данной техники в случае нарушения выдвинутых предпосылок не дает оптимальных результатов.

Вопросы и задания

1. У вас есть случайная выборка {х^у;}" реализаций двух случайных

Тім

величин — х и у. Каким образом вы можете рассчитать теоретический коэффициент корреляции между случайными величинами хи у?

D) JLUixi-nyt-J) .

E) нет правильного ответа.

Зависимость между случайными величинами х и у описывается следующим образом: х = Ь-у-у, где 8 и у — положительные константы. Тогда выборочный коэффициент корреляции между хиу равен:

8;

у;

Q ±у в зависимости от знака х ;

Л) -1;

Е).

В парной регрессии /-статистика для коэффициента р равна 2,4.

Также известно, что критические значения соответствующего /-распределения равны 2,23 и 3,17 для 5-процентного и 1-процентного уровней значимости соответственно. Тогда гипотеза о равенстве р нулю:

принимается на 5-процентном, но отвергается на 1-процентном уровне значимости;

отвергается и на 5-процентном, и на 1-процентном уровнях значимости;

Q отвергается на 5-процентном, но принимается на 1-процентном уровне значимости;

принимается и на 5-процентном, и на 1-процентном уровнях значимости;

вероятно, в расчеты вкралась ошибка.

Выберите правильное утверждение для парной регрессии:

R2 = г2р , где г — выборочный коэффициент корреляции между у и у ; Уі^а + ^Хі (/ = 1,...,«)-регрессионные значения у;

R2 = 0 тогда и только тогда, когда (3 = 0;

Q R2 = 0 тогда и только тогда, когда J^^ef =0, где et =у.{-у. (i = l,...,w) — регрессионные остатки;

R = ryy,

R = t, где / — значение /-статистики для параметра р .

Выборочная дисперсия a2= —Х?=і(*/ -х)2 является смещенной

п

оценкой теоретической дисперсии а2 = Е(х Ех)2 , потому что:

А) в выборке значений по определению меньше, чем в генеральной совокупности;

х автоматически находится в центре выборки, поэтому отклонения от него меньше, чем от Ех;

она в п раз меньше, поскольку содержит множитель

с ростом п выборочная дисперсия убывает, а теоретическая дисперсия остается постоянной;

все вышесказанное верно;

Какую гипотезу проверяет тест структурных сдвигов (тест Чоу)!

Я0: а? = const для всех /;

Я0: р; = р" для всех і и а' = а"; Q Я0: р;=р; для всех .і;

Я0: р; = 0 для всех /;

Я0: R2 = 0.

Была оценена следующая регрессия ( в экономике труда она называется уравнением Минцерау.у^а + ^Хі+ЬсІі+Є;, где у — логарифм

дохода; х — уровень образования; d — фиктивная переменная, равная 1 для мужчин и 0 для женщин. Как с помощью этой модели проверить гипотезу о наличии половой дискриминации по зарплате:

если оценка р незначима, то дискриминации нет;

значимо отличная от нуля оценка 8 говорит о наличии дискриминации;

значимо отличная от нуля оценка 5 говорит об отсутствии дискриминации;

если R2 большой, то модель верна, а значит, дискриминация есть;

данная гипотеза в рамках нашей модели не формализуется.

Пусть у — потребление жевательной резинки (кг/год на одного человека); х — возраст человека (число полных лет); d — фиктивная переменная, равная 1, если человек курит, и 0 — в противном случае. По 250 наблюдениям, взятым из возрастного диапазона от 15 до 30 лет, была построена следующая регрессия:

у і = 2,175 + (-0,066 + 0,012 dt) xt + et,

причем все оценки оказались значимыми и регрессия в целом тоже значимой. Тогда можно утверждать, что:

в среднем с каждым годом человек потребляет на 0,054 кг жевательной резинки меньше;

курильщики потребляют в среднем меньше жевательной резинки, чем некурящие;

в среднем с каждым годом люди потребляют на 0,066 кг жевательной резинки меньше;

с каждым годом курильщики потребляют в среднем на 0,012 кг жевательной резинки больше;

с каждым годом курильщики потребляют в среднем на 0,054 кг жевательной резинки меньше.

9. В общем случае НЕЛЬЗЯ утверждать, что коэффициенты регрессии,

при прочих равных условиях, являются тем более точными, чем:

меньше теоретическая дисперсия ошибки;

меньше связаны между собой объясняющие переменные;

больше число наблюдений в выборке;

больше выборочный разброс регрессоров;

больше переменных включено в модель.

10. Случайные величины х и у подчиняются следующей регрессионной зависимости: у = $х + е, Ег = 0, Dz-. У вас есть случайная выборка из двух наблюдений ух = 2, у2 =1, хх = 3, х2 =4.

Чему равна МНК-оценка параметра р ?

А)-1; В) -0,4; Q 0; D) 0,4; Е) 1.

Вы оценили модель множественной регрессии и получили следующие результаты (в скобках даны стандартные ошибки):

^.=3,43 + 2,10x^+5,21x3,.+^; Д2=0,57; « = 35. Вам надо про(2,41) (0,97) (1,14)

верить гипотезу #0 : Рз = 3. Допустим, вы выбираете 5-процентный уровень значимости (соответствующее критическое значение равно 2,04). Сколько степеней свободы (v) имеет /-статистика, каково ее значение (/), и принимаете ли вы гипотезу?

v = 32, / = 1,94, гипотеза принимается;

v = 33,/ = 1,94, гипотеза принимается;

v = 33, / = 4,57, гипотеза отвергается;

v = 35,/ = 4,57, гипотеза принимается;

v = 32, / = 0,97, гипотеза отвергается.

Признаком точной мультиколлинеарности является:

#0: р. > 0 для всех j отвергается;

tстатистики незначимы, a Fстатистика значима;

незначимость уравнения регрессии;

#0: R2 = 0 не отвергается;

компьютер отказывается считать МНК-оценки коэффициентов регрессии.

Переменные х и у связаны следующей зависимостью:

Какую модель должен построить исследователь, чтобы по выборке xi, yi }.=1 оценить модель, используя фиктивную переменную dj, равную 1 при / = 1, ...ДО, и равную 0 иначе?

A) =а + Рх.+5<//+є/;

B) у і =a + pc//x/+5t//+eJг,

Q уі = а + р<//х/+є/; D) д/^а + Щ+є,;.

£) Оценить такую модель МНК невозможно.

14. Рассмотрите модель:

Уі =9^+8,., 1=1,...,/!,

где х{,...,хп — неслучайные величины; єх,...,єп— случайные отклонения с нулевыми средними, одинаковыми дисперсиями и нулевыми ковариациями. Воспользуйтесь следующим способом оценивания 0:

Является ли 0 линейной по Уі,...,у„ оценкой 9?

Является ли 0 несмещенной оценкой 0?

Найдите дисперсию 0 и предложите способ ее оценивания.

Предложите эффективный способ оценивания 0 (в классе линейных по >>!,..., уп и несмещенных оценок). Ответ поясните.

Проверьте, выполняется ли для 0 теорема Гаусса—Маркова.

Какие дополнительные условия необходимо наложить на модель, чтобы оценка 0 была эффективной. Ответ поясните.

Предположим, что Dzt с2. При каких условиях на с2 оценка 0 будет эффективной.

15. Вы оцениваете с помощью МНК следующее регрессионное

уравнение:

wt = а + Р • dt + zt,

где W; — зарплата в месяц выпускника экономического факультета (в у.е.), a dt — количество лет обучения (принимает значения 4 или 6 лет, т.е. обучение в аспирантуре здесь не рассматривается).

Ошибки є, удовлетворяют условиям классической регресси* онной модели:

Еег= 0 , Dzt = а2, cov(e,ey) = G, І, j = 1,2,п, і * j. Вами собрана следующая статистика: v,v (300 1560^ „, (I 1 ... I) и,ЛЛЛ XX = [l560 8400J' *=Ц d2 ... dny ^==366000

=2004000, -Zw? =1654000.

i=i /Ii=l

Сформулируйте оптимизационную задачу для получения МНК-оценок коэффициентов а и р.

Найдите оценки коэффициентов аир. Дайте содержательную интерпретацию коэффициента р.

Проверьте гипотезу о значимом влиянии образования на зарплату на 5\%-ном уровне значимости. Постройте 95\%-ный доверительный интервал дая параметра р.

Чему равен коэффициент детерминации.

Проверьте значимость модели в целом.

Предположим, что ваше решение «продолжать образование в магистратуре или нет», зависит от положения вашей зарплаты по отношению к средней на рынке. Пойдете ли вы в магистратуру, если после окончания бакалавриата вам предлагают 750 у.е. в месяц, а после окончания магистратуры — 1600 у.е.

Оценив модель с помощью пакета Eviews, вы решили провести тест Уайта на гетероскедастичность. Результаты теста оказались следующими:

White Heteroskedasticity Test:

F-statistic 4.506832 Probability 0.000000

Obs*R-squared 65.61422 _ ProbabUity _0.000000

Есть ли в вашей модели гетероскедастичность? Почему?

8. Вы подозреваете, что в оплате труда может существовать дискриминация по половому признаку. Предложите два способа проверки данного предположения. Подробно опишите процедуру проверки гипотез. 16. С помощью МНК по квартальным данным с 1:1971 по 4:1976 гг.

получено следующее уравнение объема продаж товара:

yt =1.43-0.0127xt] -5.62x,2 +0.053x,3 +e,, RSS = 101.32, ESS = 19.54

(1.94) (0.0043) (2.13) (0.011)

(в скобках указаны стандартные ошибки); ESS = 2>,2, RSS = Z(j)/-7/)2.

Какие переменные оказывают значимое влияние на зависимую переменную?

Найдите коэффициент детерминации.

Протестируйте значимость регрессии в целом.

После добавления в уравнение линейной комбинации трех фиктивных переменных, соответствующих второму, третьему и четвертому кварталам года, величина ESS уменьшилась до 10.11. Как были заданы фиктивные переменные? Проверьте гипотезу о наличии сезонности, сформулировав необходимые модельные предположения о виде этой сезонности.

2