2.3. выбор потребителя при заданной полезности
2.3. выбор потребителя при заданной полезности
При анализе поведения потребителя наряду с задачей оптимизации потребительского выбора (2.10), (2.8) часто возникает задача другого рода. Допустим, задана некоторая кривая безразличия и цены товаров. Потребитель желает выбрать из множества одинаково полезных наборов такой, который является самым дешевым, т.е. минимизирует его расходы при заданных ценах на товары. Будем называть эту задачу связанной с задачей (2.10), (2.8). Математически она может быть записана следующим образом:
т= рХ + р2х2 min; (2.25)
U(xux2) = u. (2.26)
Задача (2.25), (2.26), так же, как и задача (2Л0), (2.8), является задачей на нахождение условного экстремума и может быть решена методом Лагранжа. Согласно геометрической интерпретации данного метода оптимальный набор товаров для задачи (2.25), (2.26) является точкой касания некоторой линии уровня целевой функции т (хь х2) — = рХ + Р2Х2 и нулевой линии уровня функции-ограничения G (Х, х2) = = и — Щху х2) (рис. 2.6).
спроса х\% на товар 2 при выборе потребителя в соответствии с условиями задачи (2.25), (2.26) зависят от уровня полезности и цен товаров. Другими словами, спрос на товары 1 и 2 может быть описан как некоторые функции от цен и полезности. Обозначим их через х,° =
H(Ph Ръ и) и х2 = Ніірь Ръ и) для товаров 1 и 2, соответственно. Эти функции называются функциями спроса Хикса. Они описывают множество решений задачи (2.25), (2.26) и позволяют исследовать динамику спроса при изменении полезности и цен.
Кроме того, благодаря функциям спроса Хикса х,° = Н(р, р2, и) и *2 = Н2(ръ Ръ и) минимальный расход на оптимальный потребительский набор т° = р хх° + р2 х\% может быть исследован в зависимости от уровня полезности и цен. Для этого функции спроса Н ц Н2 следует подставить в целевую функцию (2.25):
т = рх Нх(рх, Ръ и) + р2 Н2(рх, р2, «)•
Полученная функция называется функцией расходов и обозначается т (р, Р2, и) или т (р, и), где р — вектор цен, р — (р9 pi)-Приведем свойства функции расходов т (р, и):
т (р, и) является не возрастающей по р
т (р, и) является однородной первой степени по р;
т (р, и) является вогнутой по р;
т (р, и) непрерывная в пространстве цен р, для р > 0;
Х° = (х?,х\%)— решение задачи (2.25), (2.26) при условии,
что производная существует и что р > 0.
Доказательства свойств 1—5 можно найти в [3, с. 105 или в 2, с. 58-60].
Выведем функции спроса Хикса и функцию расходов для функции полезности из примера 2.1. Для этого сформулируем задачу потребительского выбора, связанную с задачей (2.19), (2.8), и решим ее методом Лагранжа. Итак, задача определения самого дешевого потребительского набора (минимизации расходов) заданной полезности имеет следующий ввд:
Рх + Р2Х2 —> min; (2.25)
т
U(xhx2)= х/2х12,3=и. (2.27)
Построим функцию Лагранжа L (хь х2, X) = рхх + р2Х2 +А, (и — х/2х/3) и найдем для нее точку минимума (х?,х2 Д°)
L (х, Х2, X) = рх + Р2Х2 +Х (и —х12х23) —► min. (2.28)
Согласно необходимому условию экстремума функции трех переменных для точки (х,0,^,^0) выполняются следующие соотношения:
(2.29) (2.30)
dL/dX = и х/2х/3 = 0. (2.31)
Исключим из уравнений (2.29), (2.30) переменную X. Это позволит выразить переменную Х2 через х : Х2 = 2pX/3pi. Заменив в Уранении (2.31) Х2 на его выражение через х, получим
2а ЪР2
6/5
= (и)
ч!/3
5/6
Зр2
4-і)
2Р]
ч2/5
И X
1 )
2£х
к3 Pi;
(2.32)
Мы вывели функции спроса Хикса для заданной функции полезности U = х12х23. Они описывают множество решений задачи (2.25), (2.27), т.е. зависимость величины спроса на товары от уровня полезности и цен (см. формулы (2.32) для х,° и х\%). Подставим в (2.25) найденные функции хх и jc§ :
ч2/5 ✓ чЗ/5
( 6/5І3Г ( 3/5/ 2/5 . / 6/5[2] / чЗ/5/ ч2/5
= (и) Ы (л). (л) +(«) Ы Ы Ы =
6/5
= (иУ
/~ч2/5 х-Л3/5
з/5 /^Л275 (зЛ2/5
ґ чЗ/5х 2/5
(2.33)
Величина pjXj0 + р2х является стоимостью самого дешевого набора на кривой безразличия, заданной уравнением (2.27), и заданных ценах товаров. Как видно из (2.33) она зависит от уровня полезности и цен, т.е. является функцией расходов для потребителя, предпочтения которого описываются функцией полезности U(jcb Хі) = х/2х/3.
Можно показать, что функция косвенной полезности V(p, М) и функция расходов т(р, и) являются взаимно обратными функциями. Действительно, несложные преобразования позволяют вывести из функции косвенной полезности (2.24) функцию расходов (2.33):
{-
ЛУ2Ґ у/3
Ри
3/5
2/5
M = 5(V)
И наоборот, из функции расходов (2.33) можно вывести функцию косвенной полезности:
m
6/5 [а 3
3/5
. m => и = —
5
( 3 Л3'5 (-2 л2'5
Рг)
Р)
-(.Г-(f)
5/6 / , \>/2/■ л.1/3
УРг)
3_
Ри
Обсуждение Моделирование экономических процессов
Комментарии, рецензии и отзывы