3.5. эластичность замены факторов. производственная функция ces

3.5. эластичность замены факторов. производственная функция ces

Обобщение производственной функции Кобба—Дугласа (ПФКД) может осуществляться в различных направлениях. Наиболее известным обобщением является производственная функция CES, или ПЭЗ — функция с постоянной эластичностью замены (constant elasticity of substitution) одного ресурса другим. Эластичность замены с — это мера «кривизны» изоквант (линий уровня) ПФ. Точнее, «кривизну» из-

меряет

1

величина —.

а

Эластичность замены труда капиталом

aLK = d

din

XL

Yk J

показывает, на сколько процентов изме-

нится капиталовооруженность труда

при изменении предель-

ной нормы замены труда капиталом

MRSkl = ~

_ 1l

dK Y!

dL

на 1\%.

При перемещении из точки А в точку В по изокванте наклон касательной меняется, меняется и соотношение^^ Это соотношение постоянно вдоль каждой прямой, проходящей через начало координат (например, прямых 2 и 3). Величина — показывает относительа

ное изменение тангенса угла наклона линии уровня в расчете на единицу изменения отношения Очевидно, чем сильнее меняется наклон линии уровня при переходе, скажем из точки А в точку В (с прямой 2 на прямую J), тем больше «кривизна» линии уровня.

На рис. 3.13 изображены линии уровня функций: а — линейной ПФ Y = аК + Ы + с; б — ПФКД; в — ПФ с бесконечной эластичностью замены Y = min(aK,bL) (функции Леонтьева); г.— ПФ CES (функции с постоянной эластичностью замены).

Линейная ПФ имеет нулевую «кривизну» и, соответственно, бесконечную эластичность замены а. Функция Кобба—Дугласа имеет эластичность замены, равную единице. Функция Леонтьева имеет нулевую эластичность замены: ресурсы в ней должны использоваться в заданной пропорции и не могут заменять друг друга. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, соответственно различной (а не только нулевой, бесконечной или единичной) может быть и эластичность замены. Это ставит задачу оценки более общих формул ПФ; в частности ПФ с постоянной, но произвольной эластичностью замены. Такая функция (функция CES) описывается формулой:

Г= А • (иК-р+(1 ~ и) ІГрГ"/р. Здесь р > -1; п > 0 — степень однородности; А > 0; 0 < и < 1. Эластичность замены одного ресурса другим для такой функции

равна ——. Если р =* —1, то получаем функцию с линейными изо-1 + р

квантами (в частности, линейную), при р-*0 в пределе получаем ПФКД с а = 1, при р-юо — ПФ Леонтьева.

В качестве примера оценки ПФ CES приведем полученные разными авторами результаты для экономики СССР. Такие оценки делались за различные периоды времени в 1950—1985 гг. Э.Б. Ершовым, Ю.В. Яременко и А.С. Смышляевым, М. Вейтцма-ном, А.Г. Гранбергом, Н.Б. Баркаловым и др. Исходные спецификации различаются предпосылками о степени однородности п (в большинстве случаев изначально считалось, что п = 1, но были и оценки с произвольным п) и наличием множителя еу', характеризующего нейтральный технологический прогресс (такой множитель может добавляться не только к ПФКД, но и CES или какой-либо другой функции). Например, А.Г. Гранберг приводит следующие оценки за 1960—1985 гг.:

У= 1,002 • (0,6412 • #-0,81+0,3588 : £-o,8i)-i/o,8i; R2 = 0,9984; DW = 1,58

(линейно-однородная функция CES без учета технологического прогресса);

У= 0,966 • (0,4074 • K-W + 0,5926 • £-з,оЗ)-1/з,озео,0252^ R 2 = 0,9982, DW = 1,76

(линейно-однородная функция CES с учетом технологического прогресса).

С точки зрения статистик R2 и DW, обе зависимости получились значимыми. В то же время оценки показателя эластичности замены а = в них различны: в первом случае — 0,55, во втором —

1 + р

0,25. Другими авторами получены оценки эластичности замены а для экономики СССР, эти значения также меньше единицы: 0,2 (Ю.В. Яременко и др.); 0,4 (М. Вейтцман); 0,37—0,43 в разные периоды (Н.Б. Баркалов). В целом можно сказать, что оценка эластичности замены сильно зависит от конкретной спецификации, но в большинстве случаев она составляла около 0,4. Во всяком случае, она заведомо была для экономики СССР меньше единицы, что говорит о невысокой степени взаимозаменяемости труда и капитала. Эта взаимозаменяемость была гораздо ниже, чем это предполагается в функции Кобба—Дугласа, в которой эластичность замены априори считается равной единице. Ошибочность исходной гипотезы о степени взаимозаменяемости факторов может служить причиной недостаточной статистической значимости оценок ПФКД.

Вопросы и задания

В чем суть закона убывающей эффективности?

Что в статической производственной функции не зависит от времени а что может зависеть от времени / ?

Как определяется (средняя) производительность труда и капиталовооруженность (фондовооруженность) труда? Какие возможны варианты взаимосвязи между ними в случае производственной функции Кобба—Дугласа?

Назовите основные свойства, которыми должна обладать производственная функция. Приведите примеры производственных функций, которые отдельными свойствами не обладают. Приведите примеры производственных функций, которые обладают всеми основными свойствами.

Что такое изокванта? В чем ее экономический смысл?

Как определяется (средняя) производительность капитала (ка-питалоотдача)?

Как определяется (предельная) производительность капитала и (предельная) производительность труда?

Какая связь существует между средней и предельной производительностью капитала (труда) в общем случае и в случае производственной функции Кобба—Дугласа?

9. Сформулируйте определение (частной) эластичности выпуска

по /-му ресурсу (/-му фактору производства) (/ = 1, 2) и определение эластичности производства.

10. Дайте содержательную интерпретацию (частной) эластичности выпуска по /-му ресурсу.

Сформулируйте определение (предельной) нормы замены одного ресурса другим. Дайте содержательную интерпретацию этому понятию.

Как меняется (предельная) норма замены одного ресурса другим при движении по изокванте? Дайте содержательную интерпретацию характеру изменения предельной нормы замены.

Дайте определение и поясните смысл производственной функции в темповой записи.

Как связаны производственная функция Кобба—Дугласа в объемной и темповой записях?

15. Как описывается технический прогресс в производственной

функции в объемной и темповой записи? Как оценить долю

вклада интенсивных факторов в темпы экономического роста?

Дайте определение и графическую интерпретацию эластичности замены факторов.

Поясните смысл производственной функции CES. Каковы ее свойства и основные характеристики?

4