4.5. комбинация ресурсов (факторов производства), минимизирующая издержки при фиксированном (общем) объеме выпуска
4.5. комбинация ресурсов (факторов производства), минимизирующая издержки при фиксированном (общем) объеме выпуска
Для случая долговременного промежутка (/г) рассмотрим задачу
глобальной минимизации издержек при фиксированном объеме у выпускаемой продукции:
PX + Р2Х2 = С (х9 х2)-+ min (4.22)
при условии, что
У=/(хьх2) (4.23)
(х >09х2> 0).
Геометрически решение задачи (4.22), (4.23) (рис. 4,9) аналогично решению задачи (4.7), (4.10). В случае задачи (4.22), (4.23) следует перемещаться по изокостам на «юго-запад» (ибо имеем задачу.минимизации) до тех пор, пока они продолжают иметь общие точки с изокван-той, соответствующей фиксированному объему ^. Ясно, что решением задачи минимизации издержек будет общая точка (хх(ух2(у)) изокос-ты и фиксированной изокванты 1у. Эта точка касания зависит от объема у (поэтому и написано: (хх(у), х2(у)). Если объем у изменится, то изменится и точка (JtjQO, х2(у)). Множество точек(x,(j>), х2(у)), соответствующих различным объемам у выпускаемой продукции, образуют линию L (см. рис. 4.9), которая, очевидно, совпадает с линией L (см. рис. 4.6).
х2А
хх(у) х Рис. 4.9
Решим задачу (4.22), (4.23) формально с помощью функции Лагранжа: Цхи х2, X) = ріхі + р2х2 + ц( у -/(хь х2)). Для функции Лагранжа выписываем условия первого порядка:
0,
дх}
dL(xx,хх,\) _ дЬ(хх,х2, ц) _ п дЬ(хх,х2,ц) _
дх1
о
или в развернутом виде
дх~>
дхл
д/(хх,х2) _<>9/(х1>х2)_
^2 = »
0, х-/(х„х2) = 0.
(4-24)
Критическая точка (хх(ух2(у\х(у)) функции Лагранжа — это точка, удовлетворяющая системе (4.24). Если у = f(xx,x2) производственная функция, удовлетворяющая условиям гладкости и выпуклости, то критическая точка (хх(у), х2(у), Д(>0), взятая без последней координаты ДО0 , теточка (хх (у х2(у)), и есть решение задачи (4.22), (4.23) глобальной минимизации издержек при данном фиксированном объеме выпуска у. Подставив координаты точки (хх(у)9 х2(у)9 в первые два уравнения системы (4.24), получим два тождества:
дхх дх2
которые в компактной векторной форме можно переписать так:
(/71,/?2) = pgrad f(xx,x2). (4.26)
Равенство (4.26) означает, что в точке (х{9х2) градиент grad f(xX9x2) и вектор р = (рх,р2) цен рх и р2 на ресурсы коллине-арны, откуда следует, что в точке (хх,х2) изокванта 1у и изокоста С = рххх + р2х2 (С рххх + р2х2) касаются (рис. 4.10).
хъ
Координаты хх(у)9х2(у)9 атакже 1(у) и С = рххх(у)-р2х2(у)) являются функциями всех параметров рх,р2,у задачи (4.22), (4.23), т.е.
х, =у1(р[,р2,у), х2 =у2(рх,р2,у Д = Уз(А»/?2»>;Х С = g(P >Рі>У) = Рх+Р2х2= PV(Р >Р2,У) + Р2У2(Р,Р2, УІ
Функции х, =\f,(/?,,р29у)9 х2 =\f2(p]9p29y) называются функциями условного спроса (по Хиксу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функции условного спроса (по Хиксу) называют также функциями компенсированного спроса со стороны фирмы на ресурсы. Функция С = g(pl9p29y) называется условными издержками фирмы. Выражение С = g(p]9p29y) является значением задачи (4.22), (4.23). Множитель Лагранжа Д = Уз(р]9р2,у) является скорее относительно большой величиной («слоном») в связи с тем, что длина градиента grad f(x]9x2) скорее много меньше длины вектора цен р = (р, р2 ).
Функции x-=\fx(pX9p29yx2 =\f2(pl9p2,y) условного спроса (по Хиксу) однородны нулевой степени по переменным /?, и /?2, а функция С = g(p]9p29y) условных издержек однородна первой степени по переменным рх и р2.
Действительно, задача глобальной минимизации (4.22), (4.23) имеет решение У](р9р2,у) и х2 =yi2(p9p2,y задача глобальной минимизации урххх + ур2х2 = yC(min) при наличии ограничения (4.23) имеет решение У(ур9ур2,у) и у2(ур9ур29у)Однако эти две задачи глобальной минимизации эквивалентны, ибо вторая получается из первой умножением целевой функции рххх + р2х2 = С на число у > 0. Поэтому Уі(урї9ур29у) = Уі(рІ9р29у) и y2(ypi9yp29y) = f2(pl9p29y). Однородность первой степени функции С = g(px,p2,y) условных издержек очевидна:
g(yP, УРг, У) = УР N>i (УР, УРг, У) + УРг Ч>2 (УР > УРг > У) = = У(РЩ (УР > УРг >У) + РгУг (УР > УРг > У)) = У8ІР > Рг > У)Если положить р0 = Д, то для задачи глобальной максимизации
прибыли
Ро/(х\>хг)~(Рх + Ргхг) = PR ~> ™ах, условия первого порядка (4.1) приобретают вид:
„ д/(хХ9х2) _ _ _ df(xX9x2) _
Ро і Ри Ро і -Рг> дхх дх2
откуда, принимая во внимание равенства р0 = Д, эти условия первого порядка следует переписать так:
xdf(xl9x2) _ rtdf(xX9x2) _ ^
и z -а» и z Ргдхх дх2
Этой системе уравнений удовлетворяют хх =хх и х2 = х2 (см. равенства (4.25)). Следовательно, решение хх =хх°9 х2 =х2 представляет собой локальное рыночное равновесие фирмы при р0 = Д, т.е. решение (хХ9х2) задачи (4.22), (4.23) условной глобальной минимизации совпадает с решением (хх°9 х2) задачи глобальной максимизации прибыли, если цена р0 выпускаемой фирмой продукции равна р0 = Д.
Таким образом, предложена естественная экономическая интерпретация множителя Лагранжа Д = х(рх, р2,у).
В параграфе 4.2 в точке локального рыночного равновесия (хх°9х2) был определен объем выпуска у0 = f(xx°9x2). Если в ограничении (4.23) положить у = Уо, то несложно показать, что хх(у0) = хХ9 х2(у0) = х2, а также ]1(уо) = Ро, т.е. множитель Лагранжа 1(у0) равен рыночной цене р0 единицы выпускаемой продукции.
Имея выражение С = С(у)9 выпишем в явном виде представление прибыли PR(>0 в случае долговременного промежутка как функции объемов у выпускаемой продукции:
Выражение PR(>>) = р0у С (у) играет важную роль в микроэкономике. Полезно сравнить это выражение с выражением для прибыли фирмы в терминах объемов хх и х2 затрачиваемых (используемых) ресурсов в случае долговременного промежутка (см. параграф 4.1).
Пусть*! = угх(рХ9р2,у), Х2=У2ІР,Р2,У), C = g(Pl,p2,y) — решение и значение задачи глобальной минимизации (4.22), (4.23).
Положим в задаче глобальной максимизации (4.7), (4.11) С = С ^тогда, очевидно, хх=ух(рХ9р29С) = ух(рХ9р29у) = х]9 х2=ц>2(р]9р29С) = = У2ІР\>Р2>У) = Х2 к y = h(pX9p29C) = f(xl9x2) = f(xl9x2) = y (рис. 4.11).
Таким образом, наблюдается взаимозависимость задач (4.7), (4.11) и (4.22), (4.23).
Задача глобальной минимизации издержек производства при фиксированном объеме у выпускаемой продукции для случая краткосрочного промежутка, когда фиксирован объем хі первого ресурса,
имеет вид (у играет роль параметра):
РХ + р2х2 = С(хх, х2) (min) (4.27)
при условии, что
У = /(хих2) (4.28)
(х,>0).
Рис. 4.13
Имеет место важный результат теории фирмы: при одном и том же объеме у выпускаемой продукции издержки производства Q для случая долговременного промежутка меньше (точнее, не больше) издержек производства С для случая краткосрочного промежутка. Эти издержки производства равны друг другу, если объем у
производства будет таким, что х{°(у) хх.
Для долговременного промежутка кратко рассмотрим общий случай п>2.
Задача (4.22), (4.23) глобальной минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме ее выпуска в общем случае имеет вид:
/?,*!+... + рпхп = C(min) (4.29)
при наличии ограничения
y = f(x]9...9xn)
(хх>09...9хп>0). (4.30)
Для функции Лагранжа
L(xl9...9xn,v) = PXl+.~ + pnxn+v(y-f(xu...,xn)^ (4.31)
задачи (4.29), (4.30) на условный (локальный) экстремум условия первого порядка имеют вид:
дхх дхп ді
или в развернутом виде
л=цЖ,...,Ри=ДФ, y-f(x) = 0 (* = (*„...,*,,)). (4.32)
дхх дхп
Для производственной функции уf(х)9 удовлетворяющей условиям гладкости и выпуклости, критическая точка (хХ9...9хп9х) функции Лагранжа, взятая без последней координаты, т.е. точка (*,,...,*„), есть точка глобального условного минимума функций (4.29) при наличии ограничения (4.30).
Критическая точка (хХ9хп9 Д) функции Лагранжа является решением системы уравнений (4.32), поэтому при подстановке ее в эти уравнения она обращает их в тождества:
рЩ^,.'-,Рп=їЩ^(х = (х19...9хп))9
Р , г л 7---J жг п ■ г ~
дхх oxh которые в компактной векторной форме имеют вид: р = Дgrad/(*) (р = (рХ9...9рп))9
откуда следует, что в точке х = (хХ9...9хп) изокванта выпуска у и изокоста ((п -1) -мерная плоскость условных минимальных издержек) касаются.
Функции хх =цх(рХ9...9рп9у)9...9х„ =у„(рх,...,р„,у) являются функциями условного спроса (по Хиксу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функция C = g(pX9...9pn9y) = pxxx+... + pnxn=px^x(pl9...9pn9y) + ^ +
+Р„у„(Р9—9рп9у) представляет собой минимальные условные издержки фирмы.
Как и в случае и = 2, все функции jc, = ух(рХ9-,р„,у = = \in(P,...,p„,y) являются однородными нулевой степени по всем переменным /?!,...,р„, а минимальные условные издержки фирмы С = g(p9...9p„,y) являются однородной функцией первой степени по
ПеремеННЫМ /?!,...,/?„.
Как и в случае п = 2, множитель Лагранжа Д = у3(Р9 ..-9рп9у) является скорее относительно большой величиной («слоном»).
Обсуждение Моделирование экономических процессов
Комментарии, рецензии и отзывы