4.6. предельные (маржинальные)

4.6. предельные (маржинальные)

свойства максимального выпуска и минимальных издержек

Справедливы следующие важные равенства: dh(pl9p29C)

■ = Х; (4.33)

дС

ацд,А,р.дкРх,р29с) = _^. (434) Фі Ф2

дС(р]9р29у)

= Д; (4.35)

ду

дС(р19р29у) дС(р19р29у) _z ІА~~

хх, - х2. ^. joj

дрх др2

Здесь h(p9 Р2, Q = Ах9х2) — максимальное значение целевой функции J{x, Х2) задачи на условный экстремум (4.7), (4.11) (см. параграф 4.1), С(рХ9р2,у) = рххх +р2х2 — минимальное значение целевой

функции С = рХ + р2Х2 задачи на условный экстремум (4.22) и (4.23) (см. параграф 4.5).

Равенства (4.34) называются тождествами Роя, равенства (4.36) (которые также являются тождествами) представляют собой лемму Шепарда. Левая часть равенства (4.33) есть предельный выпуск фирмы по лимиту. Из равенства (4.33) следует, что он равен множителю X Лагранжа.

Проанализируем и докажем равенство (4.33).

Ь(Р,Р2, С+АС) -h(pi,p2, О = ХАС.

(4.38)

Приближенное равенство (4.38) означает, что если лимит на ресурсы увеличится на одну единицу (АС =1, которая относительно мала), то максимальный выпуск фирмы увеличится на величину, приближенно равную множителю Лагранжа X, что естественно, ибо с ростом величины С фирма увеличит объем приобретаемых на рынке ресурсов и, следовательно, увеличит свой максимальный выпуск.

Следовательно, множитель X Лагранжа позволяет (приближенно) оценить новый условный максимальный выпуск h(p, р2, С+АС) фирмы, если лимит С на ресурсы увеличился на относительно малую величину АС:

h(PuPb С + АС) = А(р,,/ъ О + ХАС.

(4.39)

Оценка h(pb pi, С + AQ тем точнее, чем меньше АС.

Особо отметим, что нет необходимости решать новую задачу глобальной максимизации выпуска фирмы при новом лимите С+ АС на ресурсы, ибо новый максимальный выпуск дает приближенная формула (4.39).

В связи с тем, что множитель Лагранжа X скорее мал, из приближенного равенства (4.38) следует, что для значительного увеличения максимального выпуска требуется значительно увеличить АС (прирост лимита на ресурсы).

Докажем равенство (4.33).

Конфигурация ресурсов хх = щ{р, Р2, Q; *2 = ф2(Рь Р2> О при подстановке в ограничение рхх +/>2*2 = С обращает его в тождество по рьр2, С, т.е.

(4.40)

В тождествах (но не в равенствах!) можно переходить к производным (к частным производным):

1 =

дС _ дцх(рх,р2,С)

дС ri дС

+ р2

дф2(А>р2>с) дС

(4.41)

Имеем (используя теорему о частных производных сложной функции):

dh(px,p2,C) = df(yx (рх, р2, С), ф2 (рх, ;?2, С)) = ЭЛх1?х2) =

дС дС дС

дхх дС дх2 дС 1 дС 2 дС 1 дС 2 дС

т.е. получили равенство (4.33).

В равенстве, отмеченном символом «*» (звездочка) были использованы формулы:

= Ц (= Хер,(А,рг,С)); = ^ (= £ф2(р|>ft)C))

(см. (4.12) при хх =хх, х2 =х2, Х = >.).

Проанализируем и докажем первое равенство (4.34). Справедливо приближенное равенство:

(4.42)

dh(px,p2,C) ^ h(px + Apx,p2,C)-h(px,p2,C) дрх ~ Арх

если величина Ар относительно мала. Из (4.34) и (4.42) следует, что

КР + 4Pi > >с)" *(Р > ^2>О „ тГ

откуда получаем приближенное равенство:

/*(/>! + , /?2, О А(рь /?2, О = . (4.43)

Приближенное равенство (4.43) означает, что если цена единицы первого ресурса увеличится на одну единицу (Арі = 1 и эта единица относительно мала), то максимальный выпуск фирмы уменьшится на величину, приближенно равную ххХ, что естественно, ибо при повышении цены на первый ресурс фирма его приобретет в меньшем объеме, что, в свою очередь, уменьшит ее максимальный выпуск.

Следовательно, Цроизведение ххХ позволяет (приближенно) оценить

новый максимальный выпуск фирмы h(p + Арь Р2, С), если цена единицы первого ресурса увеличится на относительно малую величину Арх

h(pi +Ар,Р2, Q = ЩъРъ С) -xxXAph (4.44) Оценка h(p + Арі, ръ Q тем точнее, чем меньше Ар.

Аналогично предыдущему случаю нет необходимости решать новую задачу глобальной максимизации выпуска при новой цене р + Ар на единицу первого ресурса, ибо новый глобальный максимальный условный выпуск h(p + Ар, р2, Q дает (приближенно) формула (4.44).

Докажем первое равенство из (4.34).

Найдем частные производные по р всех слагаемых тождества (4.40):

Р] дфі(/»і>/»2,0 + ф1(рьА, С) +Г2 ^(РиРі'С) = Ё£. =0,

дрх Ърх Фі

откуда получаем

рх d<Pi(A>/»2>0 + п^іІРиРі'С) = _фі ^ q (4в45)

Фі Фі На основании теоремы о частных производных сложной функции имеем:

dh(p] ,р2,С) = а/(Фі (А, /?2»О» ф2 (А»ft»с)) = d/(*i,x2) =

Фі Фі Фі

3xj ф! дх2 Фі Фі Фі Фі Фі

= -^ф,(/71,/72,С) = -Ял1 ,

ИбО X, = ф! (рЬ р2, С).

Таким образом, первое равенство (4.34) доказано. Второе равенство (4.34) доказывается аналогично.

Равенство (*) аналогично равенству (*) в доказательстве равенства (4.33).

Равенства (4.35) и (4.36) анализируются и доказываются аналогично. Только в этом случае используются равенства (4.24) при