1.3. свойства случайных процессов
1.3. свойства случайных процессов
В приведенном выше примере с потреблением электроэнергии, выборочное среднее значение определяется как среднее арифметическое значений элементов наблюдённого временного ряда. Теоретическое среднее значение (или математическое ожидание) — это «ожидаемое» значение каждого элемента случайного процесса, т.е. результат осреднения всех возможных значений интересующей нас величины. Если процесс эргодический, то его начальные и центральные теоретические моменты (в том числе среднее, дисперсия и т.д.) могут быть оценены «хорошо» (или, если быть точным, «состоятельно» — см. ниже) при помощи соответствующих моментов наблюдённого временного ряда, взятого за достаточно длительный период времени.
Пусть, например, переменная у подчиняется модели AR(1) следующего вида:
где є, — случайная величина с нулевой средней и постоянной дисперсией а2 , не коррелирующая с любой другой величиной из последовательности {є,, t є Z= {...,—1, 0, 1, 2, ...}}, т.е.
Д(є,) = 0;
D(zt) = Etf) = Gli (1.4)
cov(e/,8/_y) = 0 для любого У*0.
1 Слабостационарный процесс часто называют также стационарным в широком смысле.
Случайный процесе с подобными свойствами часто называют «белым шумом». Класс процессов, являющихся белым шумом, входит в более общий класс случайных процессов, а именно стационарных случайных процессов. Случайный процесс уь t є Z, слабостационарен1, если имеет постоянные математическое ожидание и дисперсию, а ковариация между любыми двумя его элементами зависит только от промежутка времени между этими элементами:
D(yt) = E(yt-.li)2=y(0)<«>; (1.5) cov(j>,, yt_j) = y(J) Для любого /
Случайный процесс уь t^Z строго стационарен1, если при любом п (п — 1, 2, ...) совместное распределение п элементов случайного процесса yt], yt,-.-9 ytn* взятых для произвольных
моментов времени t < /2 < ... < ^, не зависит от сдвига во времени, т.е. для любого целого числа Г и любых промежутков aly bjy і = 1, л:
P{yt^[ah bfl, >>, є[я„, = P{ytl+T є [я, b], >>,+r
В данной главе термин стационарность будет в основном употребляться применительно к слабой стационарности. Если процесс строго стационарен и имеет конечные начальные моменты второго порядка, то, очевидно, он будет слабостационарным. Обратное, вообще говоря, не верно. Однако важно обратить внимание, что если процесс слабостационарен и нормально распределен, то он также строго стационарен.
Уравнение (1.3) можно записать следующим образом:
(1-Э£)Л=ем (1.6)
где L — оператор сдвига, для которого Lmyt = yt_m, и (1 pZ) является, таким образом, полиномом первого порядка от оператора сдвига.
Если уравнение (1.3) записать для периода Г— 1, получим Подстановка равенства (1.7) в уравнение (1.3) даст уравнение:
Уі =.Р2Л-2+є/+РЄм--. О-*)
1 Строго стационарый случайный процесс называют также стационарным в узком смысле.
Если в уравнении (1.3) заменить / на t — 2, т.е. перейти на два периода назад, и подставить результат в (1.8), то получим выражение для yt через переменные yt_3, є,, є,_і и є,_2. Выполняя аналогичные подстановки лаговых значений у9 после п — 1 замен получим
Л=Р^*+є,+Рєм+РЧ-2+РЧ-з>^ (1.9)
Если |р|< 1, то по мере увеличения л(и->оо) р"неограниченно
уменьшается (pw ->0). Поэтому, переходя к пределу при п->оо , получаем
yt=St +рЄм +РЧ_2 +РЧ-3 (1.10)
или с использованием оператора сдвига:
^=[1 + рІ + (рІ)2+(рІ)3+...]є,.
Применив к обеим частям этого уравнения оператор сдвига, умноженный на р, и вычтя полученное выражение из (1.10), получим
(1-рі)Л=є, (1.11) или, переходя к обратному оператору,
j,,=(l-pb)'V Поскольку є,, является белым шумом, то из (1.10) получим
E(yt ) = £(є,) + р£(єм) + р2Я(є,_2)+.... = 0 ; />0О = Я(^)Ч1 + Р2+Р^
соуСум^/) = £[(Є/ + рє,_і +РЧ-2 +-.»)-(Є/-у +'РЄ/-у-1 +
+ РЧ-у-2 + •••)] = РЭД).' (1.12)
Сравнивая выражения (1.12) с (1.5), получим, что процесс AR(1), заданный уравнением (1.3), является стационарным при
Фактически вся стандартная эконометрическая теория базируется на предположении о стационарности рассматриваемых процессов. Однако большое число экономических временных рядов — особенно в макроэкономике и финансах — не обладают свойством стационарности. Технике исследования нестационарных процессов посвящена обширная литература (см., например, [1], [2], [4]).
Обсуждение Моделирование экономических процессов
Комментарии, рецензии и отзывы