5.1. динамические модели планирования финансов

5.1. динамические модели планирования финансов

Опишем модели оптимального многопериодного планирования инвестиций в различные проекты. Индекс риска, связанного с реализацией каждого из проектов, оценивается экспертно по десятибалльной шкале. Каждому допустимому проекту отвечает свой заданный индекс риска. Общий подход к построению моделей в форме линейного программирования демонстрируется на задачах 1 и 2.

Задача 1. Акционерное общество (АО) закрытого типа заключило контракт на покупку нового оборудования для производства железобетонных блоков стоимостью 750 000 дол. В соответствии с условиями контракта 150 000 дол. в качестве аванса необходимо уплатить через 2 месяца, а остальную сумму через 6 месяцев, когда оборудование будет установлено. Чтобы расплатиться полностью и в указанные сроки, руководство АО планирует создать целевой фонд, предназначенный для инвестиций. Поскольку инвестиционная деятельность принесет дополнительную наличность к моменту расчета за приобретенное оборудование, отложить следует не всю сумму в 750 000 дол., а меньшую. Сколько именно, зависит от имеющихся возможностей и правильности организации процесса инвестирования. Акционерное общество решило сосредоточиться на 4 направлениях (12 возможностях) использования средств целевого фонда. Данные для задачи финансового планирования приведены в табл. 12.

Таблица 12

Руководство АО ставит перед собой три основные цели:

при данных возможностях инвестирования и утвержденного графика выплат должна быть разработана стратегия, минимизирующая наличную сумму денег, которые АО направляет на оплату оборудования по контракту;

при разработке оптимальной стратегии средний индекс риска инвестиционных фондов в течение каждого месяца не должен превышать 6. Этот показатель индекса риска, как предполагается, отвечает возможностям менеджера фирмы по управлению проектами;

3) в начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестиционных фондов не должна превышать 2,5 месяца. Причины те же, что и в п. 2.

Таким образом, среди потенциально реализуемых проектов выбираются наиболее экономически эффективные, при этом проекты повышенной рисковости должны компенсироваться менее рисковыми, а очень длинные проекты должны выполняться одновременно с более краткосрочными. Для решения данной задачи необходимо, во-первых, подготовить и систематизировать имеющуюся исходную информацию и, во-вторых, построить адекватную сформулированным целям экономико-математическую модель. Динамику возможных вложений и условий возврата денежных средств можно отобразить следующим образом:

Обозначения в модели:

Аі объем инвестиций в направление (проект) А в начале месяца i (i = 1,2, 6); В і объем инвестиций в направление (проект) В в начале месяца i (i = 1, 3, 5); Сі объем инвестиций в направление (проект) С в начале месяца i (i = 1, 4); Di объем инвестиций в направление (проект) D в начале месяца i (i = 1); К объем инвестиций в начале первого месяца.

Цели, на достижение которых направлена инвестиционная деятельность АО, а также необходимые ограничения, формализуются следующими соотношениями:

1. Начальная сумма инвестиций К должна быть минимальной:

К —» min.

2. Балансовые ограничения на структуру инвестиций для каждого месяца имеют

вид:

Кі Аі Ві Сі Di = 0; 1,015Aj A2 = 0;

1,015А2 + 1,035Ві Аз Вз = 150 000 дол.; 1,015Аз + 1,06 Сі А4 С4 = 0; 1,015А + 1,035Вз А5 В5 = 0; 1,015А5 Аб = 0;

1,015Аб + 1,035В5 + 1,06С4 + 1,11D! = 600 000 дол.

3. Ограничения на средневзвешенные риски проектов (для каждого месяца):*

L4j + 4Bj + 9Cj + 7 Д

A+ B, + C, + D,

< 6 => -5AL 2BL + 3C1 + DL < 0;

+ 4BL + 9CL + 7 D,

A2 + B, + C + D,

< 6 => -5A

2BL + 3CL + DL < 0;

+ 4B3 + 9C, + 7 D

A3 + B3 + C + D

< 6 => -5A

2B3 + 3Cj + Dj < 0;

+ 4B3 + 9C 4 + 7 D

< 6 => -5A

2B3 + 3C4 + DJ < 0;

Запись A ^ B означает, что из истинности условия А вытекает условие В.

—5 5 4 1 < 6 => -5A5 2B5 + 3C4 + D < 0;

A5 + B5 + C4 + Ц 5 5 4 1

,Аб + 4B5 + 9C4 + 7D<6=.-5A6 -2B5 + 3C4 + D,<0.

Аб + B5 + C4 + D, 6 5 4 .

4. Ограничения на средний срок погашения инвестиционного фонда (для каждого месяца):

1A, + ^ +3зС' D. < 2,5 => -1,5A, -0,5B, + 0,5C, + 3,5D, < 0; 1A2 + 1B + 2C + 5D

—2 1 1 L < 2,5 => -1,5A2 1,5B, 0,5C + 2,5D < 0;

A2 + B1 + C1 + D1 2 1 1 1

1A^++2B3 ++lclDD1 < -1,5A3 -0,5B3 1,5C1 + 1,5D1 < 0;

1A, + +ЗС4 +3D1 < ^ -1,5 - + 0,5C4 + 0,5д < 0;

—5 5 4 L < 2,5 => -1,5A5 0,5B5 0,5C4 0,5D < 0;

A5 + B5 + C4 + D1 5 5 4 1

—6 5 4 1 < 2,5 => -1,5A6 1,5B5 1,5C4 1,5D, < 0.

A6 + B5 + C4 + D1 6 5 4 1

Таким образом, задача описывается моделью линейного программирования, имеющей 19 ограничений в форме равенств и неравенств и 13 переменных*. Оптимальное решение, найденное с помощью специальной компьютерной программы на ПК IBM PC/AT, имеет вид:

К = 683 176,44; Аі = 0; А2 = 0; Аз = 2 672,49; А4= 7 667,67; А5 = 0;

Аб = 0; В1= 461 836,6; В3 = 325 328,4; В5 = 344 497,6; С1 = 221 339,8;

С4= 229 665; D1 = 0.

Благодаря полученному оптимальному решению удалось обеспечить уплату в срок обусловленных контрактом 150 000 дол. и вместо необходимых для конечных расчетов 600 000 дол. (750 000 150 000 = 600 000 дол.) заработать К = 683 176,44 дол., часть из которых способствовала уменьшению долговых обязательств по контракту (на 13,86 \%);

Оптимальное решение показывает, каким неочевидным заранее, но эффективным способом распределяются инвестиционные ресурсы по месяцам реализации проекта.

Это демонстрирует возможности линейного программирования, обусловливая эффективность того, что на первый взгляд таковым не казалось.

Последние два ограничения в блоке 4 в силу неотрицательности искомых переменных выполняются всегда и их можно не учитывать.

Задача 2. В табл. 13 отражены пять проектов, которые конкурируют между собой за получение инвестиционных фондов компании. Мы видим, какие наличные деньги будут получены на вложение одного доллара.

Таблица 13

Например, проект A это инвестиции, которые можно сделать в начале первого года на два следующих года, причем в конце этого же года можно возвратить 30 центов на вложенный доллар, а в конце следующего года можно дополнительно получить еще 1 дол. Максимальная сумма, которая может быть вложена в этот проект, составляет 500 000 дол. Проект B полностью аналогичен проекту А, но вложение денег можно сделать только в начале следующего года, и т.д. Деньги, полученные в результате инвестиций, можно реинвестировать в соответствии с предложенной схемой. В дополнение к этому компания может получать по 6 \% годовых за краткосрочный вклад всех денег, которые не были вложены в инвестиции в данном году.

У компании имеется 1 000 000 дол. для инвестиций. Она хочет максимизировать сумму денег, накопленных к конечному периоду. Сформулируем задачу линейного программирования и получим решение на ЭВМ.

Решение. Построим экономико-математическую модель и приведем полученное на ЭВМ оптимальное решение. Обозначения:

a1, b2, c1, d1, e3 инвестиции в проекты A, В, С, D, Е соответственно; индексы 1, 2, 3 указывают первый, второй и третий годы вложения инвестиций;

6 \% соответстs1 , s2 , s3 суммы, которые можно положить под краткосрочные венно в первом, втором, третьем годах.

Экономико-математическая модель:

а) в проект A в первый год не может быть вложено более 500 000 дол.:

a1 < 500000;

б) поскольку у компании имеется 1 000 000 дол., то во все проекты эта сумма должна

быть вложена в первом году (иначе к конечному периоду компания не максимизирует своих накоплений):

a1 + d + d1+ S1= 1 000 000;

в) аналогичный баланс на второй год:

0,3a1+ 1,1c + 1,06s1 = b2 + S2 ;

г) аналогичный баланс на третий год:

a1 + 0,3b2 + 1,06s2 = e3 + s3;

д) максимальный доход к конечном периоду:

b2 + 1,75d1+ 1,4e3 + 1,06s3 — max. Полученное оптимальное решение:

a1 = 500 000 дол.; d1 = 500 000 дол.; Є3 = 659 000 дол.; S2 = 150 000 дол.

Максимальный доход к конечному периоду равен 1 797 600 дол., что указывает на высокую эффективность инвестиционного процесса (прирост на 79,76 \%). Остальные не приведенные значения указанных переменных модели равны нулю.