13.4. стоимость денег во времени. сложный процент и дисконтирование
13.4. стоимость денег во времени. сложный процент и дисконтирование
Осуществление любых инвестиционных проектов предполагает разрыв во времени между затратами и доходами. В этом случае возникает необходимость расчета стоимости денег во времени. Расчет стоимости денег во времени — это принцип, согласно которому до тех пор, пока существуют альтернативные возможности получения дохода, их стоимость во времени зависит от стоимости в тот момент, когда ожидается их получение. Финансовая теория утверждает, что будущие деньги всегда дешевле сегодняшних, и не только из-за инфляции. Деньги, которыми мы располагаем сегодня, могут быть вложены в дело и принести доход, и, если мы получаем их через год, мы упускаем эту возможность.
 |
Барр Р. Политическая экономия. Т. 2. С. 177-178.
Сравним сегодняшние 10 тыс. руб. с 10 тыс. руб., которые будут получены через год. Если ставка банковского процента составляет 10\% годовых, то сегодняшние 10 тыс. руб. вырастут до 11 тыс. руб. через год. Следовательно, будущая стоимость сегодняшних Ютыс. руб. составит 11 тыс. руб.:
X = 10 тыс. руб. + 0,1 х 10 тыс. руб. X = 1 1 тыс. руб.
Теперь поставим вопрос несколько иначе: сколько стоят 10 тыс. руб., которые будут получены через год, при условии, что ставка банковского процента равна 10\% годовых? (Такие вопросы представляют интерес для всех инвесторов.) Очевидно, их сегодняшняя, т. е. текущая, стоимость равна той сумме, которую следовало бы в настоящее время положить в банк, с тем чтобы она через год выросла до 10 тыс. руб. Предположим, что это
какая-нибудь сумма X. Следовательно:
X
Я" + 0,1хЛГ*10тыс.]>уб.; hlX = 10 тыс. руб.; Ютыс. руб.
9 тыс. 91 руб.
1,1
Таким образом, текущая стоимость 10 тыс. руб., которые будут получены через год, составляет 9 тыс. 91 руб. Текущую стоимость называют еще приведенной стоимостью, которая, как мы видим, не измеряет стоимость текущей суммы в какой-то момент в будущем, а позволяет определить, сколько будущая сумма стоит сегодня. Используя технику расчета приведенной стоимости, можно подсчитать сегодняшнюю стоимость той
суммы, которая будет получена в будущем. Так изменяется стоимость денег во времени.
Теперь рассмотрим концепцию будущей стоимости для более общего случая.
Какова будущая стоимость сегодняшних инвестиций хо через „ лет, если годовая ставка банковского процента составляет г \% ? Через 1 год: кх = К0 + К0х г = Кй(I 4г) Через 2 года: К2 = Ку +К}хг = К}( + г) = К0(+ г)2 ЧерезЗ года: КЪ=К2 + K^r = К2(+г)= К0(1 + г)3 .Ит.д.
Чтобы определить будущую стоимость инвестиций в объеме # к концу года, рассмотренную процедуру необходимо повторить п раз. Следовательно, будущая стоимость К„ сегодняшних капиталовложений к составит:
*н=*0(1+г)
Общепринятой в финансовом анализе базовой формулой будущей стоимости является следующая:
FV = PV(] + r)n,
где FV — будущая стоимость (Future Value); PV — текущая стоимость (Present Value); п — число лет;
(1 + г)" коэффициент будущей стоимости.
Из рассмотренного примера видно, что при расчете будущей стоимости определенной суммы денег используется сложный процент. Сложный процент — это начисление "процентов на проценты". Проценты, начисленные
по истечении определенного периода (например, года), добавляются к основной сумме и включаются в ту сумму, на которую в следующий период будут начисляться проценты.
Очевидно, что, чем выше ставка процента и чем больше срок начисления процентов, тем выше будущая стоимость (^Р)(рис. 13-2).
FV (в млн. руб.)
Дж. М. Кейнс называл сложные проценты магией. А один из Ротшильдов провозгласил их восьмым чудом света. Такое отношение к сложному
проценту не случайно. В начале прошлого века английский астроном
Фрэнсис Бэйли подсчитал, что британский пенс, инвестированный под 5 Уо
годовых при условии начисления сложных процентов в год рождения Христа, принес бы к столько дохода, что его хватило бы для заполнения
357 млн. земных шаров. Бенджамин Франклин был более практичным.
После своей смерти в г. он оставил по фунтов двум городам —
Бостону и Филадельфии с условием, что они не будут тратить эти деньги в течение 100 лет. Наследство Бостона, эквивалентное примерно 4600 долл., к г. увеличилось до 332 000 долл.
Поскольку процесс начисления сложного процента может быть достаточно утомительным, существуют таблицы факторов наращения. Полный
комплект этих таблиц имеется во всех учебниках по финансовому анализу
и инвестиционному проектированию. Мы приведем здесь лишь фрагмент
такой таблицы. Факторы наращения в таблице показывают сумму, до которой возрос бы первоначальный вклад при различных комбинациях периодов и процентных ставок. Например, определенная сумма, положенная на депозит, по которому выплачиваются 8\%, и оставленная на нем на 2 года, возросла бы в 1,166 раза. Это значит, что если сумма депозита составляет руб., то ее стоимость через 2 года будет равна руб.
Теперь рассмотрим случай, когда на счет в банке положена определенная сумма, а в конце года к ней прибавится еще некоторая сумма, например 5 тыс. руб.
Пусть первоначальная сумма равняется 10 тыс. руб. и ставка процента —10\%. В конце первого года мы получим: FVX = 10 тыс. руб. х (1,]) + + 5 тыс. руб. = 16 тыс. руб.
В конце второго года: руб. х 5 тыс. руб. = руб.
Общая формула определения будущей стоимости при регулярных равных платежах или денежных поступлениях имеет следующий вид:
где — первоначальный депозит;
х — ежегодное приращение.
Такой принцип расчета получил название постоянного аннуитета или постоянной финансовой ренты. Аннуитет — это несколько добавлений
равного размера к первоначальной сумме (или выплат из первоначальной
суммы), производящихся в течение ряда лет (периодов). Когда из первоначальной суммы делаются выплаты, это называется получением финансовой ренты.
ПРИМЕР. Предположим, вам досталось по наследству 10 000 долл. и вы хотите иметь стабильный доход в течение 10 лет. Некая страховая компания предлагает такие аннуитеты из расчета 5\% годовых. Какова будет сумма вашего ежегодного дохода?
Для упрощения расчета будущей стоимости инвесторы и люди, делающие сбережения, могут использовать "правило 72-х", позволяющее определить срок удвоения суммы денег при данной процентной ставке с начислением процентов раз в год. Для этого необходимо разделить 72 на ставку процента. Например, инвестиции в 10 тыс. руб., приносящие доход 8\% в год, удвоились бы через 9 лет (72 : 8).
Другой эмпирической закономерностью является "правило 7-10". Согласно этому правилу сумма удваивается через лет при 7\% годовых или через 7 лет при 10\% годовых.
Однако следует заметить, что темп инфляции тоже устанавливается по принципу сложного процента. В условиях инфляции эти 20 тыс. руб. через 9 лет будут стоить меньше, чем они стоят теперь.
БригхемЮ., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: В 2 т. Т. 2 СПб 1997 С 630
FVn = [Х0 + х П
будущая стоимость FV через
О
10 лет будет равна 0, поскольку вся сумма должна быть вам выплачена. Мы знаем, что х0 =10000 долл.; г = 0,05; л = 10. Необходимо найти х, которое будет отрицательным, поскольку эти выплаты равны:
ГЮ 000+-^-)х (1,05)"— = (10000+ 20х)х(1,628894)-20х ;
(, 0,05 J v ' 0705
-32,57788х+ 20 х = 16288,94;
-12,57788х= 16288,94;
х =-1295,05 долл.
Таким образом, приобретая аннуитет, вы в течение 10 лет можете получать ежегодно по 1295,05долл.
Начисление процентов более одного раза в год
Посмотрим на взаимосвязь будущей стоимости (FV) и ставки ссудного процента при различных сроках начисления процентов. Пусть они выплачиваются раз в полгода. В этом случае, если 10 тыс. руб. положены под 10\% годовых, іУчерез 6 месяцев составит:
10 тыс. руб. (1+0.1)2
Если получение дохода ожидается через два года:
= 8 тыс. 264,463 руб.
Как видим, Р/2 < РЦЭто объясняется тем, что, чем позже ожидается получение дохода и чем больше процентная ставка, тем меньше его текущая (дисконтированная) стоимость (рис. 13-3).
10
тыс.
руб. (1 + °'Х г= 10 тыс. 500 руб.;
PV(b млн. руб.) а
 |
Таким образом, чем чаще выплачивается процент в течение периода t, тем больше FV на конец периода. Общая формула расчета FV по истечении п лет, если проценты начисляются т раз, будет иметь следующее выражение:
FV„=X0(l + rr.
Если проценты начисляются поквартально, тогда в конце 1-го года:
FVX = 10 тыс. руб. (1 + °'Х)4 = 11 тыс. 314,081 руб.;
истечении трех лет:
FV2=Q тыс. руб. (1 + 0,\%)12 = 13 тыс. 400 руб.
Теперь вернемся к приведенной стоимости и рассмотрим общее пра-зилг ее определения.
Какова приведенная (текущая) стоимость капитала FV, который будет юлучен через п лет, если ставка составляет г \% годовых?
1
Из формулы будущей стоимости FV = PV( + г)" следует, что текущая равна:
PV =FV'де
(1 + г)"
дисконтирования.
(гтту~
Как видим, принцип дисконтирования обращен принципу начисления ;ложного процента.
=" тыс. 90,909 руб.
ПРИМЕР. Пусть будущий доход составляет 10 тыс. руб., г = 10\% годовых. Какова будет дисконтированная стоимость данного дохода, если его получение ожидается через один год?
pv =10тыс. руб. 1 1+0,1
Рассмотрим еще один ПРИМЕР. Вам предлагают вложить 500 тыс. руб. в строительство дома, который можно будет продать через 5 лет за 600 тыс. руб. Согласитесь ли вы принять это предложение?
Сначала определим, сколько стоит сегодня возможность получить 600 тыс. руб. через 5 лет при ставке банковского процента 5\% годовых. Иначе говоря, какую сумму следовало бы положить сегодня в банк, чтобы иметь на счете через 5 лет 600 тыс. руб.? Эта сумма рассчитывается по формуле расчета
600 тыс. руб.
1,2763
текущей стоимости:
PV
: 470 тыс. 109 руб.
бООтыс.руб. (1 +0.05)5
Таким образом, для получения 600 тыс. руб. через 5 лет в банк следовало бы вложить 470 тыс. 109 руб., что меньше суммы предполагаемых инвестиций в строительство дома (500 тыс. руб.).
Теперь определим доход, который можно было бы получить при вложении в банк 500 тыс. руб. на 5 лет при ставке 5\% годовых. Он составит
FV = PV (1 + 0,05)5 = 500 тыс. руб. х 1 ,2763 = 638 тыс. 1 50 руб.
Как видим, это больше той суммы, которую можно было бы получить от продажи дома.
 |
В нашем случае дисконтированная стоимость будущего дохода в 600 тыс. руб. составляет 470 тыс. 109 руб. Сегодняшние капиталовложения (/) равны 500 тыс. руб. Таким образом, чистая приведенная стоимость составит:
NPV =PV-1 = 470 тыс. 109 руб. 500 тыс. руб. = = -29 тыс. 891 руб.
Как видим, чистая дисконтированная стоимость имеет отрицательный знак, что свидетельствует о невыгодности (убыточности) данного инвестиционного проекта. Проект будет рентабельным, если NPV> 0.
Итак, мы рассмотрели основные методы оценки дохода. Однако этот важный инвестиционный параметр нельзя рассматривать без учета риска, т. е. вероятности отклонения величины фактического инвестиционного дохода от ожидаемого. Риск по данным инвестициям непосредственно связан с ожидаемыми доходами, или, другими словами, более рискованные инвестиции должны обеспечивать более высокую прибыль. Каковы же мотивы, заставляющие инвестора рисковать? В общем, инвестор пытается минимизировать риск при данном уровне прибыли или максимизировать ее при данном уровне риска. Это связано с тем, что большинство инвесторов не расположены к риску и поэтому в обмен на увеличение риска они требуют более высокой прибыли. Окончательное инвестиционное решение принимается в результате сопоставления рисковых предпочтений инвестора с ожидаемыми данными о прибыли и риске, связанными с данными инвестициями.
Основные выводы
Капитал — понятие, используемое для обозначения фактора производства, созданного людьми для повышения производительной силы их труда. Капитал как таковой экономисты отличают от земли (природных ресурсов), которая не создается в экономической системе. Кроме того, понятие "капитал" применяется также для обозначения финансовых активов. Однако экономисты используют понятие капитала и в его физическом смысле — как производительные блага, которые затрачиваются в процессе производства (станки, машины, сырье, материалы, здания и т. п.).
Физический капитал неоднороден по своей структуре. Элементы капитала, функционирующие на протяжении длительного времени и окупающиеся за весь срок своей службы, получили название основного ка,,,,
тала. Однократно используемые активы (сырье, материалы), окупающие"
ся после каждого производственного цикла, называются оборотным капиталом.
Основной капитал подвергается амортизации (износу). Отношение ежегодной суммы амортизации к стоимости основного капитала называется нормой амортизации. Кроме физического износа капитал подвергается моральному износу — уменьшению полезных свойств в глазах пользователей. Моральный износ может быть обусловлен как объективными факторами (технический прогресс, перемены в образе жизни), так и чисто субъективными причинами (воздействие моды, рекламы и т. д.). Для уменьшения потерь от морального износа фирмы применяют ускоренную амортизацию, состоящую в повышении нормы амортизации с целью сокращения ее сроков.
Амортизационные отчисления являются источником простого воспроизводства основного капитала в условиях стабильных цен. При инфляции амортизационные отчисления обесцениваются и предприятия могут быть освобождены от уплаты налогов на закупки нового оборудования, что по сути представляет собой замену амортизационных отчислений.
Процентный доход — это доход на вложенный в бизнес капитал. В основе его лежат издержки альтернативного использования капитала. В неоклассической теории процент является результатом уравновешивания предельной рентабельности капитала (MRP) и его предельных издержек (MRC), осуществляющегося на рынке капитала. В кейнсианской теории норма процента есть вознаграждение за расставание с деньгами как наиболее ликвидным активом на определенный срок.
При осуществлении капиталовложений (инвестиций) исчисляется стоимость денег во времени. Расчет осуществляется по принципу, согласно которому до тех пор, пока существуют альтернативные возможности получения дохода, стоимость денег во времени зависит от того момента, когда ожидается их получение. При расчете стоимости денег во времени используются техника сложного процента и дисконтирование. Сложный процент — это начисление процентов на сумму, включающую уже начисленные в предыдущий период проценты.
Дисконтирование — это метод, основанный на приведении будущего дохода (или будущих издержек) к их нынешней стоимости. Метод предполагает, что будущие денежные средства будут стоить меньше по сравнению с сегодняшними из-за положительной нормы временных предпочтений (более высокой оценки "настоящих благ" по сравнению с "будущими
благами").
Двумя наиболее известными методами дисконтирования являются методы чистой дисконтированной стоимости (netpresent value) и внутренней ставки дохода (rate of return). Операция дисконтирования обратна расчету сложного процента. Она широко используется для оценки проектов, когда затраты и доходы распределены на значительное число лет.
Вопросы для повторения
. Расскажите, в чем различие между капиталом и инвестициями.
2. Критически оцените марксистскую концепцию капитала и сопоставьте ее с трактовкой капитала в современной экономической теории.
3. Определите, объясните и сопоставьте следующие понятия:
а) процент;
б) простой процент;
с) сложный процент.
тесты
Опишите, сравните и противопоставьте концепции будущей и приведенной стоимостей. Объясните роль ставки дисконтирования в вычислении приведенной стоимости.
Расскажите, в чем разница между чистой дисконтированной стоимостью и внутренней ставкой дохода.
Дайте определение риска. Объясните, что подразумевается под альтернативой "риск—доход"? Что происходит с требуемой ставкой дохода при увеличении риска?
Задачи, упражнения,
В настоящее время фирма "Эриксон", производящая игрушки, использует для формовки станок, который был куплен два года назад. Стоимость этого станка списывается по методу равномерной амортизации до ликвидационной стоимости 3000 руб., а до окончания срока его службы остается еще 6 лет. Его текущая балансовая стоимость составляет 15 600 руб., и сейчас его можно продать за руб.
Определите, чему равны ежегодные амортизационные отчисления.
Взамен используемого фирме предложен станок стоимостью 48 000 руб.
Его расчетный полезный срок службы — 6 лет, а ликвидационная стоимость по оценке составляет 4800 руб. Стоимость этого станка по методу
ускоренной амортизации окупается через 5 лет. Замена позволит увеличить выпуск продукции, следовательно, объем реализации возрастет на
6000 руб. в год; при этом гораздо большая производительность нового
станка приведет еще и к снижению операционных затрат на 9000 руб. в
год. Новый станок потребует увеличения товарно-материальных запасов
на одновременно возрастет на кредиторская задолженность.
Подумайте, стоит ли заменять старый станок.
Вкладывая средства в ценные бумаги инвестиционной компании, вы
должны платить налог с полученной прибыли в размере 30\%. Если же вы положили деньги в банк, то сумма процента не облагается налогом.
Найдите наиболее выгодную схему вложения капитала с 1 января по 31 марта, если налоги платятся в самом конце каждого квартала и
на финансовом рынке предлагают две фирмы:
• инвестиционная компания А на условиях 4,5\% ежемесячно на целое число месяцев по вкладу сроком не менее месяца;
• банк Б при ежемесячной выплате процента, равной 3,0\%, при таких же ограничениях.
Предполагается, что станок будет служить 3 года, принося ежегодный доход 20 000 руб. Его остаточная стоимость к концу третьего года составит 60 000 руб. Определите цену станка, полностью направляемую на покрытие издержек, если
а) ставка процента составляет 8;
б) ставка процента равна 10;
в) ставка процента равна 8, но ожидаемый темп инфляции составляет 7\%
в год.
Номинальная стоимость акции компании Z составляет 1000 руб., ее текущая рыночная цена равна 6000 руб. Компания выплачивает квартальный дивиденд 200 руб. на акцию. Какова текущая прибыль на акцию компании
в годовом исчислении?
Банки А и Б предлагают вкладчикам 50\% годовых с начислением дохода один раз в полугодие. При этом банк А начисляет доход по простой
процентной ставке, а банк Б — по сложной. Какой из банков предлагает вкладчикам более выгодные условия вложения средств на шесть
месяцев?
а) Банк А.
б) Банк Б.
в) Выгодность вложений одинакова.
Управляющий фирмой должен выбрать лучший способ вложения 100 тыс. руб. Допустим, что он стремится максимизировать прибыль и действует в ситуации полной определенности, т. е. имеет возможность точно рассчитать прибыль по каждому варианту за любой период.
Среди различных вариантов особое внимание, с его точки зрения, заслуживают два проекта. Во-первых, он может закупить партию товара, реализовать ее и на этом закончить свою деятельность; во-вторых, приобрести оборудование, которое будет производить продукцию в течение десяти лет. Кроме того, всегда существует возможность держать деньги в банке, получая доход в виде процентов. Данные по проектам приведены в табл. 13-2.
Какую прибыль будет максимизировать фирма: краткосрочную ближайшего года или долгосрочную за десять лет?
 |
Использование прачечной обходится ей в 20 руб. в неделю. Стиральная машина стоит 3000 руб.
Процентная ставка в коммерческом банке составляет 1 0\%. Прочие издержки по использованию стиральной машины (амортизация, электроэнергия) равны 10руб.
Определите, стоит ли семье Ивановых приобретать стиральную машину.
Господин N всегда мечтал иметь собственное кафе. Известно, что издержки, связанные с содержанием кафе, следующие:
на покупку оборудования (изнашивается за 15 лет) 850 тыс. руб.;
на зарплату персоналу — 160 тыс. руб. в год;
на сырье — 120 тыс. руб. в год.
В настоящее время годовая зарплата господина N составляет 25 тыс. руб.
На покупку оборудования он собирается использовать свои сбережения, которые приносят ему 8\% годовых. Господин N ожидает ежегодно получать выручку, равную 900 тыс. руб. Является ли покупка кафе выгодной сделкой? Сделайте расчет.
9- Рассчитайте будущую стоимость сегодняшних инвестиций в сумме 7000 долл., которая будет получена:
а) через два года при 9\% годовых;
б) через пять лет при 12\% годовых;
в) через два года при годовых при полугодовом начислении процентов;
г) через два года при 12\% годовых при ежеквартальном начислении
процентов.
Определите, сколько нужно инвестировать сегодня, чтобы получить:
а) 20 000 долл. через 5 лет при 5\% годовых;
б) по 20 000 долл. в течение 5 лет при 5\% годовых;
в) по 5000 долл. в течение 10 лет при 8\% годовых.
Инвестиции в основной капитал в условиях рыночной экономики имеет смысл осуществлять тогда, когда соблюдаются следующие условия:
а) внутренняя ставка дохода ниже, чем рыночная ставка процента;
б) норма прибыли на вложенный капитал такая, что чистая приведенная
стоимость будущей прибыли меньше, чем стоимость приобретаемого
основного капитала;
в) предельные затраты на дополнительный капитал должны быть больше
чем стоимость его предельного продукта;
г) внутренняя ставка дохода выше, чем рыночная ставка процента;
д) дисконтированная стоимость будущих поступлений выше стоимости
покупаемого основного капитала.
Допустим, в вашем университете установлена следующая плата за обучение: вы платите 2 тыс. долл. в год, но плата за обучение будет возрастать на 200 долл. в течение следующих трех лет.
Администрация предлагает студентам сэкономить на оплате обучения и уплатить сразу за четыре года 8 тыс. долл. Экономия, по утверждению администрации, составит 1200 долл.:
во 2-й год — 200 долл.; в 3-й год 400 долл.; в 4-й год — 600 долл.
Примете ли вы данное предложение, если для получения денег ваши родители должны продать акции "Газпрома", обеспечивающие годовой доход в 12\%, состоящий из дивидендов и прироста курсовой стоимости акций?
Ответы:
1. нет; 2. в банк; Зя. 6350,66; 36.6010,52; Зв. 7764,72; 4.800 руб.; 5. в); 6. долгосрочную; 7. не стоит; 8. нет; 9я. 8316; 96.119 000; 9в. 8512; 9г. 8869; Юя. 15680; 106. 86 580; 10в. 33 550; Юг. 34 195; 11. д); 12. нет.
Рекомендуемая литература
Барр Р. Политическая экономия: В 2 т. Т. 2. Тема П. Гл. 3. М, 1994.
КейнсДж.М. Избранные произведения. Гл. 13, 14, 16, 17. М., 1993.
МакконнеллК., Брю С. Экономикс: В 2 т. Т. 2. Гл. 31. М., 1992.
Фишер СДорнбушР, ШмалензиР. Экономика. Гл. 18. М., 1993.
ХайманД.Н. Современная микроэкономика: В 2ч. Ч. П. Гл. 15. М., 1995.
Харрис Л.Денежная теория. Гл. 15-17. М., 1990.
ХейнеП. Экономический образ мышления. Гл. 11.М., 1991.
ШимДж.К., СигелДж.Г. Финансовый менеджмент. Гл. 6, 7. М., 1996. . ■
f
Обсуждение Микроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы