3.2 решения
3.2 решения
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 1
Производственная функция q = f(x , x2) c постоянной отдачей от масштаба обладает следующим свойством: при любом положительном k выполняется равенство
f(kx1, kx2) = kf(x1, x2). Почленно дифференцируя это равенство по k, получим:
— • x1 + — • x2 = f(xv X2), (1)
или MP1 • x1 + MP2 • x2 = q, откуда MP2 = (q MP1 • x1)/x2.
При данных задачи находим: MP2 = (60 3 • 12)/4 = 6.
Комментарий. Равенство (1) есть частный случай уравнения Эйлера: если функция f(x1, x2, xn) однородна степени а, то
v if = f ( )
у xi • = af(xl, x2,xn).
Производственная функция c постоянной отдачей от масштаба — однородная функция первой степени, или линейно-однородная функция.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 2
Эластичность замещения ресурсов представляет собой эластичность отношения количеств ресурсов x2/x1 по предельной норме технической замены MRTS12.
а) Найдем предельные продукты ресурсов:
MP1 =-^=; MP2 b
2*[xi 2^x2
Отсюда
MP a fxl
MRTS12 = 1 = -•
12 MP2 b x1
Предельная норма технической замены представляет собой степенную функцию отношения x2/x1; показатель степени равен 1/2. Эластичность степенной функции равна показателю степени, так что эластичность MRTS12 по x2/x1 равна 1/2, а эластичность обратной зависимости, которая нас интересует, равна 2.
б) MP1 = a •ax1a-1x2; MP2 = a •px1ax22-1; MRTS12 = a
В этом случае зависимость также степенная, показатель степени равен 1; соответственно эластичность замещения равна 1.
hx2 ах2 h х2
в) MP1 = hX2-—; MP2 = ПХ^ПГ; MRTS12 = ■ \%
(ax1 + hx2) (ax1 + hx2) a x1
Здесь показатель степени равен 2, эластичность замещения равна 1/2.
Комментарий. В рассмотренных задачах пропорция затрачиваемых ресурсов и предельная норма технической замены были связаны степенными зависимостями. Эластичность степенной функции — постоянная величина; производственные функции, обладающие подобными свойствами, получили название функций с постоянной эластичностью замещения, или ПЭЗ-функций. Они служат удобными моделями и широко используются в микроэкономическом анализе. В частности, они позволяют оценивать взаимозависимость ресурсов в производстве: если эластичность замещения ресурсов больше 1, то ресурсы являются взаимно заменяющими, а если меньше, то — дополняющими. В случае а) ресурсы были взаимными заменителями, в случае в) — дополнителями. В случае б) ресурсы были взаимно независимыми.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 3
а) Путь оптимального роста фирмы — это множество экономически эффективных способов производства, т. е. таких способов, которые позволяют произвести любое возможное количество продукта с минимальной стоимостью используемых ресурсов. Для каждого экономически эффективного способа предельная норма технического замещения ресурсов равна соотношению их цен.
Предельные производительности ресурсов
= dq_ = а Е; MP2 = А. = a £
предельная норма технической замены
2
MP х MRTS12 = M^ =
12 MP2 x1
Таким образом, путь оптимального роста — прямая, описываемая уравнением
X2 —
P2
х
б) Используем полученное уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого для производства продукта в количестве q. Подставим выражение для х2 в производственную функцию:
q = а'
откуда
ap.
X2 =
q
a
a
в) В случае, когда х2 = const, изменение объема выпуска достигается выбором соответствующей величины х1, так что в коротком периоде 2
q
X1 = ' 2
а х„
и поэтому
STC(q) = P1X1 + P2X2 =
Piql
a2x„ + P2X2
Комментарий. Поскольку LTC(q) — это минимальные затраты на производство объема q при условии, что все ресурсы — переменные, а STC(q) — минимальные затраты при условии, что некоторые ресурсы — постоянные, можно утверждать, что STC(q) > LTC(q) при любом q. Выражения для затрат короткого и длительного периодов, полученные при решении задачи, иллюстрируют это общее положение:
2
STC(q) LTC(q) = P|q-+P2X2 а х„
2q а
P2X2
> 0.
Равенство достигается при значении q, обращающем в нуль выражение в круглых скобках:
IP2"
q = a А—x2,
p1
т. е. при том объеме выпуска, для которого в условиях длительного периода второй ресурс использовался бы в данном объеме x2 (проверьте!).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 4
а) Пользуясь методами, примененными при решении
предыдущей задачи, находим:
MP1 =^ = (x 5)-0.5 • (x, 10)03;
MP, =-dxq= 0.6 • (x 5)0.5 • (x, 10)07;
MRTS12 = M^ = J•x^10 = -p1 = 1. 12 MP2 0.6 x1 5 p2 4
Отсюда получаем уравнение пути оптимального роста:
x2 = 10 + 0.15 • (x1 5).
б) Используем полученное уравнение для определения
экономически эффективного набора ресурсов, необходимого
для производства заданного объема q продукта. Подставим
выражение для x2 в производственную функцию:
q = 2 • (x1 5)0.5 • [0.15 • (x1 5)]03 = 1.1320(x1 5)0.8, откуда определяются
x1 = 5 + 0.8564 q1.25; x2 = 10 + 0.12846 q1.25 и функции затрат
LTC(q) = p1x1 + p2x2 = 45 + 1.3702 q1.25;
LAC(q) = 45 + 1.3702 q0.25; LMC(q) = 3.6025 • 103 q0.25.
q
в) Эффективный масштаб производства qe определяется
объемом выпуска, при котором средние затраты принимают
минимальное значение; при этом выполняется равенство MC(qe) = AC(qe), из которого находим qe = 49.520. При этом min LAC(q) = 4.544, ресурсы используются в количествах x1 = 117.5, x2 = 26.875.
г) В коротком периоде зависимость объема выпуска от использования единственного переменного ресурса описывается равенством
q = 2 • (x1 5)05(20 10)03 = 3.9905 • (x1 5)0.5, так что количество первого ресурса для выпуска q единиц продукта равно
x1 = 5 + 0.062797q2,
и функции затрат
STC(q) = 1 • (5 + 0.062797q2) + 4 • 20 = 85 + 0.062797q2 85
SAC(q) = —+ 0.062797q; SMC(q) = 0.12559q.
q
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 5
Любой объем выпуска фирмы Q = q1 + q2 должен быть распределен между заводами таким образом, чтобы суммарные затраты TC(Q) = TC1(q1) + TC2(q2) были минимальными. Таким образом, функция затрат фирмы определяется условием:
TC(Q) = min(TC1(q1) + TC2(q2)) при условии Q = q1 + q2.
В рассматриваемом случае двух заводов эффективное распределение объема производства легко найти подстановкой q2 = Q q1 и последующей минимизацией суммы функций затрат обоих заводов:
TC^) + TC2Q qj =
= 200 + 10q1 + 0.5 qj2 + 100 + 10(Q q1) + 2(Q q1)2.
Минимум достигается при q1 = 0.8Q, так что q2 = 0.2Q. Подстановка в полученное выражение найденного значения q1 дает выражение для искомой функции затрат: TC(Q) = 300 + 10Q + 0.4Q2.
Комментарий. Отметим одно свойство эффективного распределения. Подстановка найденных выражений для q1 и q2 в выражения для предельных затрат заводов показывает, что значения предельных затрат заводов одинаковы: MC1(q1) = 10 + q1 = 10 + 0.8Q; MC2(q2) = 10 + 4q2 = 10 + 0.8Q.
Кроме того, эти значения совпадают с предельными затратами фирмы в целом:
MC(Q) = 10 + 0.8Q.
Этот результат справедлив для любых функций затрат заводов (с некоторыми оговорками, обсуждаемыми в комментарии к задаче № 6). Воспользовавшись подстановкой, примененной выше при решении задачи, сформулируем требование к распределению объема производства в виде минимизации суммы TC1(q1) + TC2(Q q1). Дифференцируя по q1, найдем, что MC1(q1) MC2(Q q1) = 0, т. е. при эффективном распределении MC1(q1) = MC2(q2).
Равенство предельных затрат имеет ясный экономический смысл. Если при некотором распределении предельные затраты оказьпваются неравными, например MC2(q2) > MC1(q1), то уменьшение объема q2 на малую величину є > 0 с одновременным увеличением на такую же величину объема q1 не изменит общего объема выпуска фирмы Q, но сократит общие затраты фирмы, так как сокращение затрат второго завода (MC2 • є) превысит увеличение затрат первого завода (MC1 • є).
Кроме того, результат будет тем же при произвольном числе заводов. Покажем это, воспользовавшись методом множителей Лагранжа. Если в состав фирмы входят n заводов, то функция общих затрат фирмы при эффективном распределении объема производства между заводами определяется условием
TC(Q) = £ TC; (qt) при условии £ ql = Q.
i=1 l=1
Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи условной минимизации:
L(q1, А) = £ TCi) qt Q
i=1 V1=1
где А — множитель Лагранжа. Условие минимума:
ВТ
— = MCi (qi) -X = 0, i = 1, 2, n, так что при эффективном распределении общего объема производства
MC.(q.) = X, i = 1, 2, n, т. е. предельные затраты всех заводов равны одной и той же величине X. В свою очередь множитель Лагранжа равен производной минимизируемой функции (TC(Q)) по ограничивающему параметру (Q), следовательно, MC(Q) = X.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 6
Воспользовавшись рассмотренным выше свойством эффективного распределения, приравняем предельные затраты первого завода MC1(q1) = 10 + q1 предельным затратам второго MC2(q2) = 25 + 4q2 и получим соотношение q1 = 15 + 4q2. Так как Q = q1 + q2 = 15 + 5q2, находим:
q2 = 0.2Q 3; q1 = 0.8Q + 3.
Такое распределение возможно лишь при Q > 15: в противном случае оказалось бы q2 < 0, что невозможно, и q1 > > Q, что также невозможно. Не учитывая условие неотрицательности q1 и q2, мы пришли к результату, верному лишь при достаточно больших общих объемах. При Q < 15 эффективным окажется «распределение», при котором весь объем выпуска фирмы будет осуществляться первым заводом. Итак,
q1 = Q, q2 = 0 при Q < 15;
q1 = 0.8Q + 3, q2 = 0.2Q 3 при Q > 15.
Комментарий. Методы дифференциального исчисления позволяют найти внутренние экстремумы. В первой части задачи при любых значениях Q существовали внутренние решения: и q1, и q2 можно было как увеличить, так и уменьшить на достаточно малую величину. Во второй части такая возможность для распределения при Q < 15 отсутствует. В этом случае MC1(q1) = 10 + Q, MC2(q2) = 25, так что MC2 > MC1, но «исправить» распределение, увеличив на q1 величину є и соответственно уменьшив q2, невозможно. Здесь мы имеем дело с граничным оптимумом.
Обсуждение Микроэкономика Том 3
Комментарии, рецензии и отзывы