5.3. задачи экономического моделирования
5.3. задачи экономического моделирования
Задача 5.1. Система массового обслуживания.
В цехе имеется два станка для обработки корпусных деталей. Интенсивность поступления деталей на обработку равна Х=6 дет/час, а интенсивность обработки деталей каждым станком равна ц=4 дет/час. Нарисовать графы состояний и вычислить: коэффициент использования оборудования, среднее число занятых станков, среднее число деталей в очереди, среднее время пребывания детали в цехе, вероятности состояний, если:
а) имеется накопитель на две детали;
б) емкость накопителя не ограничена.
Решение.
На рис. 5.4 и рис. 5.5 представлены диаграммы состояний для первого и второго случаев соответственно.
обслуживающими аппаратами (станками) 1). Накопитель с ограниченной емкостью.
X
В соответствии с общей теорией имеем: р. = р _х —^ .
Ш
Так как у нас два станка и две позиции в накопителе, то интенсивность поступления: Xq х х2 = ^3 = ^4 = ^5 ^/ = О V/ > 4.
Это следует из того, что интенсивность поступления деталей на обслуживание постоянна, но если заняты оба станка и оба места в накопителе, то детали не поступают в систему.
Интенсивность обслуживания:
Ц|=ц; Ц2=2|а; цз = 2ц; 04= 2ц; Ц5 = ... = О.
Это объясняется тем, что интенсивность обслуживания кратно количеству занятых одновременно станков. Если деталь одна, то ц і
= ц, если деталей больше, то = 2i, т.к. станков всего два и
на обслуживании одновременно может быть не более двух деталей. Далее имеем:
1 2 1 З 1
= -Л)Р » Р3=— Р » ^4=— Р
р = -; р=рор> Pi [і
1 З 1 4
-уР , /?4=—п
Сумма всех вероятностей (в том числе и p0) равна 1, т.е.
p0
л 1 2 1 З 1 4
1 + P + -P +-ГР +-7Р
2 22 23
1.
 |
1
 |
<\%І26) p2:pl*Ro/2; 144
(\%о26)
653
(\%І27) p3:p2*Ro/2; IDE
(\%о2 7)
653
(\%І2Є) p4:p3*Ro/2;
(\%о2Є)
Й53
Число занятых станков: N = р + 2р2 + 2р^ + 2р^.
(\%І32) Н:р1+2* (р2+рЗ+р4);
Е5Е
(\%о32>
Є53
(\%ІЗЗ) float (\%] ;
(\%оЗЗ) 1.313935681470138
Итак, среднее число занятых станков равно VV=1,314. Число деталей в системе: т = рх + 2р2 + Ър^ + 4/>4
(\%І34) га: sum (i*pO*Ro~i/2Л(і-1),і,1,4), float; C\%o34) 1.727411944869832
Число деталей в очереди: К = р-$ + 2р^
(\%І35) К:рЗ+2*р4,float; (\%о35) 0.41347626339969
М
Время пребывания в цехе равно: Т = —.
X
(\%i36) T:m/Lambda; (\%о36) 0.28790199081164
2). В случае неограниченности емкости очереди Xj=X Vi, = 2[i Vi >2, ± = [і.
Вероятности любого состояния не будут равны нулю. Условие
ОО
нормировки здесь: ^Pj = 1.
7 = 0
 |
Тогда pi}
Вычислим необходимые величины:
sum((Ro/2)
Исходя из общей теории, далее получаем: Среднее число деталей в системе:
і
'рА
Последовательно вычисляем:
(Ro/2)
2
(\%І52) Х(100),float; (\%o52) 11.24999999989994
Как видно, скорость сходимости ряда большая, возьмем его значение Y=11,25:
(\%І55) Y:\%o51; (\%о55) 11.25
Далее:
(\%І56) m:pO*(Ro+2*Y); (\%o56) 3.428571428571428
Среднее число занятых станков: N = 2 2pQ pi:
(\%І57) N:2-2*pO-pO*Ro;
(\%o57) -2
Среднее число деталей в очереди: К = т-N:
(\%І58) K:m-N;
(\%о58) 1.928571428571428
М
Время пребывания в цехе равно: Т = —:
(\%І59) Т:т/Lambda; (\%о59) 0.57142857142857
Ответ:
а) p0, p1, p2, p3, p4 равны: 0.196, 0.294, 0.221, 0.165, 0.124;
число занятых станков N = 1.314; число деталей в системе m = 1.727; число деталей в очереди K = 0.413; коэффициент использования (N/2)= 0.657; время пребывания в цехе= 0.288.
б) p0 равно: 0.143;
число занятых станков = 1.5; число деталей в системе = 3.428;
число деталей в очереди = 1.929; коэффициент использования = 0.75; время пребывания в цехе = 0.571.
Задача 5.2. Задача линейного программирования.
Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров не менее 70 и витаминов не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов П и П 2 равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта Пх 2 руб., П2 -3 руб.
Построить математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ. Найти параметры задачи.
Решение. Составим экономико-математическую модель.
Пусть х1 количество единиц продукта П1, х2 количество единиц продукта П2.
Целевая функция стоимость питания: Ц=2 х+3 х2-^тіп.
Ограничения:
необходимо потреблять не менее 120 единиц белка
0.2 х1+0.1 х2 > 120
необходимо потреблять не менее 70 единиц жиров
0.075 х1+0.1 х2 > 70
необходимо потреблять не менее 10 единиц витаминов
0.1 х2 > 10
4) обе переменные неотрицательные
х1 > 0, х2 > 0
Для решения используем электронные таблицы OpenOffice.org
Calc.
На рис. 5.6 представлена исходная информация, необходимая для решения задачи.
В ячейках A3 и В3 установлены нули как начальное приближение. В ячейках А7 и А8 помещены коэффициенты целевой функции (2 и 3 соответственно). В ячейках А11:В13 помещены коэффициенты всех трех ограничений.
В ячейках Е11:Е13 помещены знаки ограничений. Это справочные элементы и нужны только нам. Для программы решения задач линейного программирования они не требуются.
В ячейках F11:F13 помещены правые части ограничений.
Теперь, необходимо задать формулы расчета целевой функции и левых частей ограничений.
Если посмотреть на нашу таблицу (рис. 5.6) и формулу целевой функции, то можно записать: Ц=А7*А3+В7*В3.
Формулы подобного вида записываются через функцию SUMPRODUCT (сумма произведений соответствующих элементов двух и более массивов).
Мастер функций
 |  | ||
Массив 1 (обязательный)
Массив 1; массив 2,... до 30 массивов, аргументы которых перемножаются.
Результат функции О
Отмена
<< Назад
Далее
Рис. 5.9. Окно ввода аргументов
После нажатия правой кнопки в окне ввода «Массив 1» на рабочем листе активизируется окно ввода первого набора (рис. 5.9).
Мышкой выбирается прямоугольная область, содержащая элементы первого массива. Это значения переменных, т.е. ячейки А3:В3.
Т.к. значения переменных сейчас равны нулю, то и результаты
расчета по введенным формулам равны нулю (рис. 5.12).
| |D7 | 01 Л Ш | = =SUMPRODUCT($A$3:$B$3;A7:B7) | |||||||
| В | С | D | Е | F | |||||
| 1 | |||||||||
| 1 | Х2 | ||||||||
| 3 | 0 | ||||||||
| 4 | = | ||||||||
| 5 | ы | Значение | |||||||
| 6 | :ции | целевой функции | |||||||
| 7 | 3 | =SUMPRODUCT($A$3:$B$3;A7:B7) | '— | ||||||
| В | |||||||||
| 9 | ы | Значение | Знак | Правая | |||||
| 10 | левой части | неравенства | часть | ||||||
| 11 | 0 1 | =SUMPRODUCT[$A$3:$B$3;A11:B11} | >= | 120 | |||||
| 12 | 0 1 | =SUMPRODUCT[$A$3:$B$3;A12:B12) | :>= | 70 | |||||
| 13 | 0 1 | =SUMPRODUCT[$A$3:$B$3;A13:B13} | >= | 10 | |||||
| 14 | |||||||||
| 15 | >1 | ||||||||
| ИЕ | [7]|Й]Лисг1 /Лип-2/ЛистЗ / | ГГ 1 NN 1 | |||||||
| |лист1/3 || Базовый | 100\% II | ІІСТАНДП * 1 | Суннз=0 | ||||||
Рис. 5.11. Отображение введенных формул
/к Ж = | =SUMPRQDUCT($A$3:$B$3;A7:B7)
| А В | с | Е | F | ||||
| 1 | Переменные | ||||||
| 2 | Х1 | Х2 | |||||
| 3 | 0 | 0 | |||||
| 4 | |||||||
| Коэффициент | ы | Значение | |||||
| 6 | целевой функции | целевой функ | ции | ||||
| t> | 2 | 3 | I 0 | ||||
| 8 | |||||||
| 9 |
Обсуждение Математика в экономикеКомментарии, рецензии и отзывы 5.3. задачи экономического моделирования: Математика в экономике, Юдин С.В., 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии кратко описаны пакеты программ, распространяемые на условиях лицензии GNU GPL, не предполагающей регистрации и оплаты за использование. Показано, как с помощью этих программ решать практически любые экономико-математические задачи.
| ||||||