6.4. анализ временных рядов

6.4. анализ временных рядов: Математика в экономике, Юдин С.В., 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии кратко описаны пакеты программ, распространяемые на условиях лицензии GNU GPL, не предполагающей регистрации и оплаты за использование. Показано, как с помощью этих программ решать практически любые экономико-математические задачи.

6.4. анализ временных рядов

Временные ряды, в отличие от остальных, изначально упорядочены по параметру «время».

В качестве примера для анализа возьмем данные по Нью-Йоркской фондовой бирже с 05 января 1966 г. по 26 июня 2006 г. (всего 2117 наблюдений). График представлен на рис. 6.21.

NYSE closing price, Wednesdays

Эти данные имеются в базе примеров программы GRETL. Их можно загрузить последовательностью команд меню: [File] —> [Open data] —» [Sample file] (рис. 6.22). To же можно выполнить нажатием крайней правой кнопки на нижней панели.

Появляется окно выбора файлов примеров (рис. 6.23). Следует обратить внимание на большое количество имеющихся там статистических данных. Эти примеры широко используются в различных учебниках по эконометрике.

К—

Рис. 6.22. Открытие файлов.

R,:...,,,...,.-. ДІ-

<? Q @ *

Gretl Greene Kufel_ru | Ramanathan | Wo о Id ridge |

File SuimiTiary

ІМ'_ II 1 '_' _■—1 1 IU Ц_| U—LI U '_U—ГОТ—1 M'_ II 1 J 1' 1 L'LI'_ 1—I

krnenta US macro data plus artificial data longley Annual U.S. labor-market data leverage Illustrates detection of incorrect data mccullagli Ship damage data used by William Greene mroz&7 Women's labor force participation and pay mrw Mankiw, Rome г and Weil cross-country data

np Nelson and Plosser (JMEr 19S2) US macro data

nysewk Weekly NYSE closing price, 1996-2006

penngrow Nerlove cross-country growth data

pension Pension-plan participation (Papke, 2004)

poisson Test data for Poisson regression

rac3d Ca nne ro n -Trive d і d о cto г visits d ata

sw_chl2 International macro data (Stock and Watson]

5w_chl4 Unemployment and inflation (Stock and Watson)

Close

Рис. 6.23. Окно выбора файлов примеров.

Выбранный нами файл очень большой и охватывает 40-летний период, в течение которого, как видно из графика на рис. 6.21, поведение цен было различным. Для исследования выберем период с 06 января 1988 г. по 30 декабря 1998 г. (574 наблюдения). График представлен на рис. 6.24.

Выбор линии тренда

Наблюдаемые данные можно приближать разными функциями. Самая распространенная модель линейная. Но отобранные нами данные явно имеют нелинейную зависимость от времени.

Здесь возникает проблема, какую функцию выбрать для приближения?

С одной стороны, у исследователя могут быть некоторые теоретические соображения по виду функциональной зависимости. С другой стороны, часто нет никакой априорной информации о характере процесса.

Наиболее часто приближение осуществляется степенными ряп

дами, т.е. полагаем, что x{t) = ^а/ + s(t), где п степень многочле2=0

на; аи i=...nнеизвестные коэффициенты; z(t) случайная составляющая. Здесь и далее параметр времени t численно равен номеру недели, начиная с первой (06 января 1988 г.).

Мы рассмотрим три модели: линейную, квадратическую и кубическую. Для построения квадратической и кубической моделей

2 3

были введены новые переменные: time = t, time2 = t, time3 = t.

Необходимо отметить, что многочлены более высоких степеней нецелесообразно применять в статистическом анализе.

Ниже представлены результаты расчета трех моделей.

1. Линейная модель.

Model 1: OLS estimates using the 574 observations 88/01/06-98/12/30 Dependent variable: close

Variable Coefficient Std. Error t-statistic p-value

const 961,45 43,2647 22,2225 <0,00001 ***

time 7,06538 0,130381 54,1901 <0,00001 ***

Mean of dependent variable = 2992,75

Standard deviation of dep. var. = 1280,8

Sum of squared residuals = 1,53243e+008

Standard error of residuals = 517,597

Unadjusted R2 = 0,836971 Adjusted R2 = 0,836686 Degrees of freedom = 572

F-statistic (2, 571) = 2930,46 (p-value < 0,00001) Durbin-Watson statistic = 0,0152249 First-order autocorrelation coeff. = 0,996553

Log-likelihood = -4400,51

Akaike information criterion = 8805,02 Schwarz Bayesian criterion = 8813,72 Hannan-Quinn criterion = 8808,41

2. Квадратическая модель.

Model 3:OLS estimates using the 574 observations 88/01/06-98/12/30 Dependent variable: close

Подпись: t-statistic
55,3534
-11,1158
37,3970
Подпись: const time time2

Variable

Std. Error

35,05 0,281516

Coefficient 1940,14 -3,12927

0,0177298 0,000474098 Mean of dependent variable = 2992,75 Standard deviation of dep. var. = 1280,8 Sum of squared residuals = 4,44275e+007 Standard error of residuals = 278,938

Unadjusted R2 = 0,952735 Adjusted R2 = 0,95257

F-statistic (2, 571) = 5754,93 (p-value < 0,00001) Durbin-Watson statistic = 0,0521203 First-order autocorrelation coeff. = 0,973034

Log-likelihood = -4045,16

Akaike information criterion = 8096,31 Schwarz Bayesian criterion = 8109,37 Hannan-Quinn criterion = 8101,4

p-value

<0,00001 <0,00001 <0,00001

***

***

***

3. Кубическая модель.

Model 11: OLS estimates using the 574 observations 88/01/06-98/12/30

Dependent variable: close

Подпись: 5,53039e-05 2,29458e-06
Variable

const time time2 time3

Coefficient

1411,7 7,8512 -0,0299698

Std. Error

33,0182 0,496865 0,00200705

t-statistic

42,7553 15,8015 -14,9323

24,1020

p-value

<0,00001 <0,00001 <0,00001 <0,00001

***

***

***

Mean of dependent variable = 2992,75 Standard deviation of dep. var. = 1280,8 Sum of squared residuals = 2,20032e+007 Standard error of residuals = 196,474

Unadjusted R2 = 0,976592 Adjusted R2 = 0,976468

F-statistic (3, 570) = 7926,73 (p-value < 0,00001) Durbin-Watson statistic = 0,105053 First-order autocorrelation coeff. = 0,94817

Log-likelihood = -3843,49

Akaike information criterion = 7694,98 Schwarz Bayesian criterion = 7712,39 Hannan-Quinn criterion = 7701,77

Анализ полученных результатов дает основание для принятия квадратичной модели:

Модель

Коэффициент R2

Расчетное значение F-критерия

Линейная

0,836686

2930,46

Квадратичная

0,95257

5754,93

Кубическая

0,976468

796468

Добавление кубического слагаемого ничего не дает с точки зрения надежности и точности модели: коэффициент множественной корреляции увеличивается незначительно, а сложность модели возрастает. В этой связи оставляем квадратичную модель.

Уравнение модели:

x{t) = 1940,14 3,12927 • t + 0,0177298 • t2

Здесь x значение переменной close, t порядковый номер недели, начиная с первой.

Оценка автокорреляции остатков (критерий Дарбина-Уотсона)

Если остатки, т.е. разница между рассчитанными по модели значениями и фактическими значениями, коррелированны, то это означает, что модель более сложная, чем предполагалось. В этом случае нарушается независимость наблюдений друг от друга и необходимо использовать автокорреляционные модели.

В таблице данных второй (квадратической) модели имеется два параметра, характеризующих автокорреляцию остатков:

1. Статистика Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson statistic). Эта величина равна Durbin-Watson statistic = 0,0521203.

Для сравнения ее с критическими значениями необходимо вызвать функцию статистических таблиц программы GRETL последовательностью команд меню [Tools] -» [Statistical tables] (рис. 6.25).

На появившемся окне статистических таблиц выбрать закладку [DW] (рис. 6.26) и ввести объем выборки n.

Подпись: Подпись:
Рис. 6.25. Вызов статистичеРис. 6.26. Ввод исходных данных ских таблиц

К сожалению, максимальное значение объема выборки в этих таблицах 100. Ниже приведены результаты, которые выдает программа для n =100 и n=50.

5\% critical values for Durbin-Watson statistic, n = 100

Number of explanatory variables (excluding the constant):

1 2 3 4 5 10

dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU

1,65 1,69 1,63 1,72 1,61 1,74 1,59 1,76 1,57 1,78 1,46 1,90 5\% critical values for Durbin-Watson statistic, n = 50 Number of explanatory variables (excluding the constant):

1 2 3 4 5 10

dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 1,50 1,59 1,46 1,63 1,42 1,67 1,38 1,72 1,34 1,77 1,11 2,04

В нашей модели оценивается два коэффициента, следовательно, необходим второй столбец значений.

Расчетное значение d = 0,0521203. Оно существенно меньше левой границы, что дает основание утверждать о наличии автокорреляции остатков.

2. Коэффициент автокорреляции первого порядка (First-order autocorrelation coefficient).

Он равен 0,973. При выборке объемом 574 эта величина по критерию Стьюдента заведомо значима.

Таким образом, два критерия говорят о наличии автокорреляции.

Автокорреляция остатков (прямые расчеты)

Программы GRETL позволяет прямые вычисления автокорреляционной функции. Для расчета автокорреляционной функции остатков в окне модели необходимо выбрать последовательность [Tests] -» [Autocorrelation] (рис. 6.27).

Таблица 6.7. Тест на автокорреляцию остатков

with p-value = P(F(14,543) > 763,499) = 0

Alternative statistic: TRA2 = 532,927332,

with p-value = P(Chi-square(14) > 532,927) = 9,61e-105

Ljung-Box Q' = 5406,48 with p-value = P(Chi-square(14) > 5406,48) = 0 Test statistic: LMF = 763,499452,

with p-value = P(F(14,543) > 763,499) = 0

Звездочки в последнем столбце показывают наличие значимой автокорреляции при сдвиге на 1, 3, 4, 6, 12, 13 единиц времени.

Авторегрессия

Т.к. в разделе 6.4.2. было установлено, что в модели имеется явление авторегрессии, то есть последующие наблюдения зависят от предыдущих, необходимо использовать авторегрессионную модель, включающую в себя предыдущие наблюдения.

Для этого выбираем пункты меню [Model] —» [Time series] —» [Autoregressive estimation...] (рис. 6.28).

Появляется окно спецификации модели (рис. 6.29).

Выбираем зависимую переменную close (цена закрытия) и независимую time (время). Выбираем лаги (List of AR lags) и нажимаем кнопку [lags.].

В окне выбора лагов по переменной (рис. 6.30), указываем шаг на единицу.

Дважды нажимаем [OK] и получаем результаты расчета (табл.

6.8).

Уравнение регрессии:

x(t) = 1,63842 + 0,0506474 • t + 0,997384 • x(t -1)

Исправленное значение квадрата коэффициента множественной корреляции равно 0,997527, что очень велико.

Рис 6.29. Окно спецификации авторегрессионной модели.

Критерий Дарбина-Уотсона равен 1,9993, что говорит об отсутствии корреляции остатков. Это подтверждается и коэффициентом автокорреляции остатков, который равен -0,0002.

Таблица 6.8.

Авторегрессионная модель.

Model 7: Cochrane-Orcutt estimates using the 572 observations 88/01/20-98/12/30

Dependent variable: close

Variable Coefficient Std. Error t-statistic p-value

const 1,63842 7,31885 0,2239 0,82294

time 0,0506474 0,0388241 1,3045 0,19258

close_1 0,997384 0,00504203 197,8138 <0,00001 ***

Statistics based on the rho-differenced data: Sum of squared residuals = 2,30544e+006 Standard error of residuals = 63,6533

Unadjusted R2 = 0,997536 Adjusted R2 = 0,997527

F-statistic (2, 569) = 123084 (p-value < 0,00001) Durbin-Watson statistic = 1,9993 First-order autocorrelation coeff. = -0,000246158 Akaike information criterion = 6377,81 Schwarz Bayesian criterion = 6390,85 Hannan-Quinn criterion = 6382,9

Математика в экономике

Математика в экономике

Обсуждение Математика в экономике

Комментарии, рецензии и отзывы

6.4. анализ временных рядов: Математика в экономике, Юдин С.В., 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии кратко описаны пакеты программ, распространяемые на условиях лицензии GNU GPL, не предполагающей регистрации и оплаты за использование. Показано, как с помощью этих программ решать практически любые экономико-математические задачи.