Глава 1. основные принципы решения экономико-математических задач на проценты и доли

Глава 1. основные принципы решения экономико-математических задач на проценты и доли

Правило первое*.

Фактор времени на любом экзамене играет весьма важную роль. Особенно велика его роль на вступительном экзамене по обществознанию: в среднем для ответа на один вопрос у абитуриента имеется 2-2,25 минуты (без учета времени на проверку полученных ответов и заполнение бланка ответов). Мало кто из поступающих досрочно заканчивает работу, большинству не хватает времени для решения всех заданий теста. Следовательно, необходимо как можно более экономно и рационально расходовать имеющееся время. Однако часто вместо экономии получается противоположный результат. Никогда не начинайте решать вариант вступительного экзамена с экономико-математических заданий, даже если Вы «с ходу» знаете, как именно нужно решать то или иное задание. Прочитайте и попытайтесь сначала ответить на остальные вопросы. Математика «затягивает», и часто абитуриенты не замечают, как отведенное на экзамен время закончилось.

Правило второе.

Не нужно спешить и лихорадочно решать задачи. Постарайтесь, как можно меньше считать в уме, записывайте все промежуточные вычисления на бумаге! Как правило, экзаменационные задания не решаются в одно действие, и, допустив арифметическую ошибку в процессе решения, Вы можете обнаружить в конце, что полученного результата нет среди вариантов ответов. А если Вы решали тест «в уме», то на поиск и исправление ошибки у Вас уйдет гораздо больше времени, чем на проверку пошаговых вычислений. И поверьте: не надо бояться того, что члены приемной или экзаменационной комиссии отнесутся к Вам иначе, если найдут на полях, к примеру, произведение трех на восемнадцать, тест проверяет беспристрастный компьютер! Согласитесь, гораздо обиднее будет, получив в уме, к примеру, 56, остаться потом «у разбитого корыта», недобрав несколько баллов (из 380 баллов) до границы так нужной Вам оценки.

Правило третье.

Заметную экономию времени и, соответственно, преимущество перед конкурентами на экзамене дает умение рационально решать задачи. Иногда задачу за счет использования удачного приема можно решить в три четыре раза быстрее. Поэтому прежде чем приступить к решению теста внимательно прочитайте условие и осмыслите, что именно Вам требуется найти.

Практически во всех заданиях проведение промежуточных вычислений является нерациональным. Оптимальным оказывается первоначальное нахождение итоговой формы для расчета искомой величины и лишь затем проведение арифметических расчетов: сокращения, деления, умножения и т.д.

Пример. В апреле работники цеха должны были изготовить по плану 124 тысячи этажерок. За первую декаду апреля цех выполнил 40\% месячного плана производства на апрель, а за вторую декаду — 25\% от оставшегося плана. Сколько этажерок необходимо изготовить работникам цеха в третьей декаде апреля, чтобы полностью выполнить план производства на апрель? Решение-Способ 1.

Рассчитаем, сколько этажерок было изготовлено за первую декаду апреля:

1240

40 х

124000 = 1240-40 40.

100

49600

Таким образом, на вторую и третью декады апреля цеху остается еще изготовить 74,4 тысячи этажерок (120 49,6 = 74,4).

Поскольку за вторую декаду выполнили 25\% от оставшегося плана на апрель, то за вторую декаду было изготовлено 18600 этажерок:

744

74400—= 744-25 <=> * 25.

100

18600

Отсюда имеем, что для выполнения месячного плана работникам необходимо изготовить за третью декаду апреля 55800 этажерок (74,4 18,6 = 55,8). Способ 2.

Решим данную задачу так называемым методом от «остатка».

Поскольку за первую декаду было изготовлено 40\% месячного плана, то за вторую и третью декады осталось изготовить 60\% плана (100\% 40\%). Учитывая, что за вторую декаду изготовили 25\% от оставшегося плана (то есть от 60\% всего апрельского плана), имеем, что для выполнения месячного плана работникам необходимо изготовить за третью декаду 75\% (100\% 25\%) от остатка, то есть 45\% начального плана на апрель:

(1-0,40)-(1-0,25) = 0,6-0,75 = 0,45.

Отсюда мы легко получаем, сколько этажерок необходимо изготовить работникам цеха в третьей декаде апреля, чтобы полностью выполнить план:

1240

124000-0,45 = 1240-45 <=> 45.

55800

Как и следовало ожидать, мы получили тот же результат, что и в первом случае, однако снизили вероятность появления арифметической ошибки.

Ответ: для полного выполнения месячного плата в третьей декаде апреля работникам цеха необходимо изготовить 55800 этажерок.

Комментарий. При решении большинства задач на проценты и доли приходится приводить дроби к общему знаменателю, а также производить их сокращение. Напомним несколько простых приемов работы с дробями.

Необходимо помнить, что величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число:

х х-A xlА

у у А у/А

Для того чтобы сложить или вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить или вычесть числители:

а+с а■ d + с■ b _ а■ d±с■ b b~l~~b~~d~lTb~ b~d '

Умножение дробей сводится к умножению числителя на числитель и знаменателя на знаменатель:

а с _а-с ~Ъ d~b-d'

Деление дробей сводится к умножению числителя первой дроби на знаменатель второй, а знаменателя первой на числитель второй дроби, или к умножению первой дроби на перевернутую вторую:

а с a d_ad b d be b-c

Правило четвертое.

При решении задач на проценты символ \% используйте только при выборе правильного варианта ответа из предложенных. В ходе непосредственного решения задачи пользуйтесь только долями и коэффициентами.

Пример. Согласно данным социологического обследования, 60\% преподавателей экономического факультета МГУ имеют ученую степень кандидата наук, а 28\% — доктора наук. Определите, сколько кандидатов и докторов наук было опрошено в ходе социологического обследования, если в опросе приняло участие 110 преподавателей факультета.

Решение:

Пусть х (человек) — число кандидатов наук, а у (человек) — число докторов наук, опрошенных социологами. Выразив 28 процентов в долях от единицы, получим коэффициент 0,28, а 60 процентов — коэффициент 0,60.

Откуда имеем:

х = 110 • 0,6 = 66 (человек) и у = 110 • 0,28 = 30,8 (человек).

Поскольку количество человек всегда является целой величиной, получим, что 66 кандидатов и 31 доктор наук были опрошены в ходе социологического обследования.

Ответ: 66 кандидатов и 31 доктор наук были опрошены в ходе социологического обследования.

Правило пятое.

При решении задач на анализ динамики экономических показателей всегда устанавливайте взаимнооднозначное соответствие между процентами и коэффициентами. Выражение «величина А увеличилась (уменьшилась) на х процентов» нужно воспринимать в виде «величина А домножилась на коэффициент к» и наоборот.

В общем виде соответствие между количеством процентов х, на которое изменилось исходное значение экономического показателя, и коэффициентом, на который он домножается, можно представить в виде:

увеличился на х\% О домножился на коэффициент к= 1+

100 х

уменьшился на х\% О домножился на коэффициент А=1-у^ Например:

20

увеличилась на 20\% О *=' + jqq ^ Д°множилась на коэффициент 1,2

57

уменьшилась на 57\% О *=^~Jq^ ^ домножилась на коэффициент 0,43

Аналогичным образом, зная значение коэффициента к, можно однозначно определить величину изменения экономического показателя в процентах х: домножился на коэффициент А О увеличился надс=100(£-1)\% прих>0 домножился на коэффициент к О уменьшился на х = 100 (к -1) \% при х<0

Иными словами, в этом случае нам нужно определить, насколько коэффициент к отличается от единицы, и это отличие мы превращаем в проценты. Например:

домножился на коэффициент 1,2 О увеличился на 20\%= 100(1,2 -1)\% домножился на коэффициент 0,78 О уменьшился на 22\%= 100(0,78 -1)\% Правило шестое.

При решении задач на проценты всегда обращайте внимание, что берется за величину (базу) сравнения. Нередко каждое упоминание о процентах относится к разным базам их исчисления или база сравнения изменяется численно.

Пример. Мэрия города Сочи собирается приобрести партию ананасов. Взвешивание, которое производилось перед погрузкой в Сан-Паулу (Бразилия), показало массу 100 тонн, при этом было определено, что процентное содержание жидкости в товаре составляет 99\%. При разгрузке в порту города Сочи выяснилось, что доля жидкости уменьшилась до 96\% за счет усушки при транспортировке. Каков вес закупаемой партии после разгрузки?

Решение:

Вначале рассчитаем, какой процент и вес так называемого сухого остатка (под которым понимают вещество, вес которого не изменяется при усушке / утруске) был в приобретаемой партии перед погрузкой. Поскольку при первом

взвешивании жидкость составляла 99\% (по весу), то сухой остаток составлял 1 \% от массы «свежих» ананасов и весил 1 тонну (0,01 • 100 т. = 1 т.).

При втором взвешивании (после разгрузки) вес сухого остатка, по определению, не изменился и составил 1 тонну, но его удельный вес (доля) в весе «усушенных» ананасов, по условию, увеличился до 4\%.

Теперь можно найти вес всей партии (х т.) после разгрузки: 4\% - 1 т.

=>х = 25т.

100\% - х т.

Ответ: 25 тонн.

Комментарий. Неверное решение этой задачи, как правило, связано с тем, что поступающие забывают об изменении общей массы товара при усушке. В результате, несмотря на то, что и в первом, и во втором случае за базу берется общая масса партии, база сравнения изменяется (100 тонн в первом случае и 25 тонн во втором). Задачи, основанные на изменении процентного содержания жидкости, следует решать только через сухой вес.

Правило седьмое.

Помните, что выражение «величина А больше (меньше) величины В на х процентов» НЕ эквивалентно (НЕ синонимично) выражению «величина В меньше (больше) величины А на х процентов»:

1±—) = В*в(і±—) = А.

loo J I loo;

Пример. Заработная плата инженера на 20\% ниже заработной платы прораба. На сколько процентов оплата труда прораба выше оплаты труда инженера? Решение:

Как правило, большинство абитуриентов, впервые столкнувшись с этим заданием, отвечают «на 20\%». Покажем, что этот результат неверен.

Пусть ЗИ (рублей) — заработная плата инженера, а ЗП (рублей) — заработная плата прораба. Тогда, по условию, ЗИ= 0,8ЗП (за базу сравнения взята заработная плата прораба).

Нам требуется найти, на сколько процентов оплата труда прораба выше оплаты труда инженера. То есть теперь базой сравнения будет заработная плата инженера. Таким образом, нам требуется найти отношение: ЗП _ ЗП ЗП _ 5 _ ^ ЗИ ~~ 0,8-ЗД ~ 4 т ~ 4 " ' • 5

Перейдя от процентов к коэффициентам (см. правило пять), получим: оплата прораба выше оплаты труда инженера на 25\% ((1,25 -1) • 100 \%).

Ответ: оплата прораба выше оплаты труда инженера на 25\% .

Комментарий 1. Незнание данного правила часто приводит к ошибке при решении текстовых задач. Пусть, к примеру, в магазине имеется три секции. Если известно, что в мае объем продаж третьей секции (53) был на 20\% меньше суммарного объема продаж первой и второй секции (51+52), тогда верно составленное уравнение имеет вид: S3 = 0,8 ■ (5і, + S2). Тогда как многие абитуриенты

записывают его в следующем виде: 1,253 = (5, + S2).

Комментарий 2. Хотим обратить внимание читателя на то, что экзаменаторы прекрасно осведомлены о «слабых» сторонах поступающих. Поэтому, как правило, остальные четыре (или пять) вариантов ответа в тесте, являющиеся неверными, представляют собой «ловушки», составленные с учетом типичных ошибок абитуриентов.

Правило восьмое.

При последовательных изменениях какой-либо величины каждый раз проценты берутся от ее последнего значения (если в условии не оговорено другое), и на соответствующий коэффициент домножается последнее значение величины.

Пример. Прежде чем попасть на прилавок магазинчика в деревне Большие Утюги Свердловской области жевательная резинка проходит через трех поставщиков: оптовую компанию ООО «Бабл Гум» (Москва), региональную оптовую компанию ООО «Жувастик» (Екатеринбург), ларек ПБОЮЛ «В.К. Тарханов» на оптовом рынке «Бодрость» (Екатеринбург). На каждом этапе цена жевательной резинки увеличивается на определенное количество процентов по отношению к предыдущему этапу: на первом этапе — на 20\%, на втором этапе — на 25\%, на третьем этапе — на 10\%. Наценка владельца магазинчика И.Г. Вайсмана составляет одну треть от цены жевательной резинки в ПБОЮЛ «В.К. Тарханов». На сколько процентов больше в результате придется заплатить жительнице деревни Большие Утюги Маше Орловой по сравнению с отпускной ценой компании-производителя в Москве?

Решение:

Пусть Ап (рублей) — отпускная цена жевательной резинки у компании-производителя в Москве, а А / (рублей) — стоимость жевательной резинки в магазинчике в деревне Большие Утюги. Следовательно, нам требуется найти отношение (А і Ап) I AnВыразив 20\%), 25\%), 10\% в долях от единицы, получим, соответственно, коэффициенты 0,2, 0,25, 0,1. Последнее повышение уже в условие дано в виде доли (1/3).

Откуда имеем:

А, =4, -(1 + 0,2)-(1 + 0,25)-(1+ 0,1)^1+ ij о-4= 2,2(раза).

Зная коэффициент 2,2, мы легко может получить искомую величину процентов: (2,2-1)-100\%= 120\%.

Ответ: Маше Орловой придется заплатить на 120\% больше по сравнению с отпускной ценой компании-производителя в Москве.

Комментарий:

Мы сознательно при решении этой задачи опустили процесс вычисления изменения цены жевательной резинки, чтобы читатель еще раз убедился в том, что использование промежуточных вычислений бывает нецелесообразным (см. правило 3). Последовательно умножение коэффициента 1,2 на коэффициент

ів

17

1,25 (1,2 ■ 1,25 = 1,5), затем коэффициента 1,5 на коэффициент 1,1 (1,5 • 1,1 = 1,65)

4

и, наконец, коэффициента 1,65 на коэффициент 4/3 (1,65-— = 2,2) отнимет

у абитуриента значительное время. В то время как вычисление выражения

5 6 11 4 г 5 6 11 4 /-Х--2--П-Х 11

не составляет особого труда: = —— — = —.

4 5 10 3 4 5 10 З Х-/--2--5-Х 5

Правило девятое.

Вопрос «На сколько процентов величина А больше величины в?» равносилен вопросу «Во сколько раз величина А больше величины В?», а вопрос «Какой процент величина А составляет от величины 5?» — вопросу «Какую часть величина А составляет от величины В?».

Пример. Прибыль компании А на 30\% меньше прибыли компании Б. Прибыль компании В на 10\% меньше прибыли компании Д. Прибыль компании Д в три раза больше прибыли компании Б. Какой процент от прибыли компании В составляет прибыль компании А?

Решение:

Обозначим прибыли компании А, Б, В, Г, Д (ден. единиц) через А, Б, В, Г, Д, соответственно. Тогда из условия имеем: А=0,7Б, 5=0,9Д Д=ЗБ. Откуда получим: В = 0,9(ЗБ) = 2ДБ.

Поскольку требуется определить, какой процент от прибыли компании В составляет прибыль компании А, то за базу сравнения берется прибыль компании В. То есть нам требуется определить, во сколько раз А больше В:

А 0,7Б п„

— = - «0,26.

В 2,7Б

Таким образом, прибыль компании А составляет примерно 26\% от прибыли компании В.

Ответ: прибыль компании А составляет примерно 26\% от прибыли компании В.

Комментарий:

Существует еще один способ ответить на вопрос «на сколько процентов показатель А больше (меньше) показателя В». Он состоит в том, чтобы выяснить, на какой коэффициент домножается величина В в процессе превращения в величину А.

Правило десятое.

Если требуется разделить экономическую величину на несколько неравных частей (например, в пропорции т : и), то необходимо сначала определить, на сколько всего частей нужно разделить эту величину, затем рассчитать, сколько единиц делимой величины приходится на одну часть, и наконец найти, сколько единиц приходится на и и т частей, соответственно.

Пример. При учреждении фирмы Семен Каменский и Борис Каминский договорились делить все прибыли и убытки в отношении 3 :4. Как, учитывая их договоренность, предприниматели должны разделить 210 тысяч рублей, заработанные компанией в текущем году?

Решен ие:

Из условия задачи мы можем заключить, что прибыль фирмы требуется разделить всего на 7 частей (3+4). Поскольку фирма заработала всего 210 тысяч

рублей, то на каждую часть приходится = 30 тысяч рублей. Следовательно,

на 3 части будет приходиться 90 тысяч рублей, а на 4 части — 120 тысяч рублей.

Таким образом, Семен должен получить 90 тысяч рублей, а Борис — 120 тысяч рублей.

Ответ: Семен должен получить 90 тысяч рублей, Борис — 120 тысяч рублей. Комментарий:

У абитуриентов часто возникает сложность с трактовкой выражения «в отношении (пропорции) т : и». Иначе говоря, можно сказать так: на каждые три рубля, полученные Семеном, должно приходиться 4 рубля, полученные Борисом.

На основе решения этой задачи мы можем сформулировать нехитрый алгоритм, с помощью которого Вы сможете решать аналогичные задачи, не прибегая к использованию пропорций и решению уравнений.

Алгоритм деления на 2 части:

Пусть нам требуется разделить какую-то экономическую величину, равную а единиц, между двумя экономическими агентами в отношении т : и, и определить, сколько единиц рассматриваемой величины приходится на каждого экономического агента.

Решение:

Поскольку рассматриваемую величину нам требуется разделить всего

г а

на т + п частей, значит на одну часть будет приходиться единиц,

т + п

та „ п-а

на т частей единиц, а на и частей единиц.

т+п т+п

та

Ответ: на первого экономического агента приходится единиц, на втот + п

п а

рого единиц.

т + п

Алгоритм деления на п частей:

Пусть нам требуется разделить какую-то экономическую величину, равную а единиц, между п экономическими агентами в отношении х[:х1:...:хп. Определить, сколько единиц рассматриваемой величины приходится на каждого экономического агента. Аналогично, можно получить, что на первого эконох. ■ а

мического агента приходится ■ единиц, на второго —

X, + х2 +... + х„

х ■ а х ■ а

- единиц,..., на л-ного единиц.

х, + х2 +... + х„ х, + х2 +... + х„

Задания для самостоятельной работы

1.1. Найдите: (1) 4\% от 75 рублей; (2) 25\% от 340 евро; (3) 18-\% от 330 франков;

(4) 15\% от 84 долларов; (5) 32\% от 12,5 марок.

Найдите сумму, лежащую на счете в банке, если её: (1) 8\% равны 24 рублям; (2) 140\% равны 182 рублям; (3) 45\% равны 225 рублям; (4) 750\% равны 450 рублям; (5) 7\% равны 182 рублям.

Найдите выручку компании, если известно, что её: (1) 5\% составляют 23\% от 15,5 тысяч рублей; (2) 4\% составляют 31\% от 16,4 млн. рублей; (3) 16\% составляют 8\% от 84 тысячи рублей; (4) 6\% составляют 3\% от 1,5 млн. рублей;

(5) 18\% составляют 45\% от 225 тысяч рублей.

1.4. (1) Ваш капитал вырос в 5 раз. На сколько процентов вы стали богаче?

(2) Ваш капитал уменьшился в 5 раз. На сколько процентов вы стали беднее?

(3) Ваш капитал вырос на 50\%. Во сколько раз вы стали богаче?

(4) Ваш капитал уменьшился на 50\%. Во сколько раз вы стали беднее?

На сколько увеличилась выручка нефтяной компании, если цена тонны нефти увеличилась на 30\%, а объем продаж вырос на 20\%?

На сколько уменьшилась прибыль авиакомпании, если прибыль на единицу продукции сократилась на 50\%, а объем продаж упал на 25\%?

Как изменились затраты компании, если себестоимость единицы продукции снизилась на 20\%, а объем продаж вырос на 50\%?

Как изменилась выручка компании, если цена единицы продукции снизилась на 30\%, а объем продаж вырос на 30\%?

Как изменились издержки компании в расчете на единицу продукции, если общие издержки снизились на 20\%, а выпуск вырос на 60\%?

Как изменилась цена продукции, если выручка снизилась на 20\%, а объем продаж упал на 36\%?

Известно, что из 143 тысяч тонн нефти нефтезавод получает 78 тысяч тонн бензина марки А98. Сколько бензина будет получено нефтезаводом в ходе переработки партии в 11 тысяч тонн нефти?

На фирме работают 250 человек, из которых 120 не имеют высшего образования. Каков на фирме процент сотрудников, имеющих высшее образование?

Новый мебельный гарнитур с доставкой обошелся семье Ивановых в 39 тысяч рублей. Какой процентов от общих затрат на покупку гарнитура (включая доставку) составляют расходы по перевозке, если стоимость гарнитура равна 35,1 тысячи рублей.

Постройка загородного дома стоила 9,8 млн. рублей, из них 65\% заплатили за материалы, а остальное — за работу. Сколько заплатили за работу?

Два завода должны были за месяц произвести 360 станков. Однако первый завод выполнил план на 110\%, а второй завод перевыполнил план на 12\%. В итоге было произведено 400 станков. Сколько станков сверхплана выпустил второй завод?

На сколько процентов следует понизить за один раз цену товара, чтобы новая цена была равна цене товара после двух последовательных понижений на 10\%?

1.17. Фонды оплаты труда четырех отделов компании соотносятся друг

с другом как 2:3:5:6. Определите величину фондов оплаты труда каждого

отдела, если суммарный фонд оплаты труда компании равен 128 млн. рублей.

Разделите наследство в 1,5 млн. рублей между тремя братьями так, чтобы на каждые 16 рублей, полученных старшим братом, приходилось семь рублей, полученных средним, и один рубль, полученный младшим.

Автоцентр сделал заказ автозаводу на изготовление запасных частей для легковых автомобилей. В частности, была заказана партия комплексных деталей, включающая передние полуоси, диски колес и колесные гайки, общим количеством 52 тысячи единиц. Соотношение названных деталей составляет 2:4: 20? Сколько и какой процент деталей каждого вида было заказано?

В банке общая сумма кредитов, выданных населению, составляет 25\% от суммы кредитов, выданных предприятиям. Какой процент от общего объема кредитования в этом банке приходится на долю предприятий?

Летом численность приезжающих в приморский поселок туристов составляет 150\% от численности коренного населения поселка. Определите, каков удельный вес туристов в общей численности населения поселка летом.

На овощной базе имелся крыжовник, влажность которого составляла 99\%. За время хранения его влажность уменьшилась и стала равна 98\%. На сколько процентов уменьшилась масса хранившегося на базе крыжовника?

В августе овощная база закупила 10 тонн овощей по цене 25 рублей за килограмм, содержащие 99\% воды по весу. В январе овощи были реализованы по цене 60 рублей за килограмм, при этом за время хранения часть воды испарилась, в результате чего в овощах осталось 98\% воды. Определите прибыль овощной базы от продажи закупленной партии овощей.

Фирме, выпускающей соки, предлагают приобрести 100 тонн ананасов по цене 30 тысяч рублей за тонну. Взвешивание товара производилось месяц назад, и тогда же было определено процентное содержание жидкости, которое равнялось 98\%о (по весу). По требованию покупателя на день покупки производится повторный замер содержания жидкости в фруктах, который показал, что жидкости осталось только 90\% (по весу). Сколько денег должна заплатить фирма за ананасы, учитывая изменение веса партии?

Компания «Bonanza» приобрела 200 тонн бананов в Эквадоре по цене 5 тысяч рублей за тонну. Перед погрузкой в порту г. Гуаякиль было произведено контрольное взвешивание партии и тогда же было определено процентное содержание жидкости, которое равнялось 96\% (по весу). После разгрузки в порту г. Санкт-Петербурга был произведен повторный замер содержания жидкости, который показал, что жидкости осталось только 90\% (по весу), после чего доставленная партия была продана фирме «Тампико» по цене 20 тысяч рублей за тонну. Определите прибыль компании «Bonanza» от этой операции, если транспортные расходы составили 400 тысяч рублей, а других издержек компания не имеет.

В траве вода составляет 70\% от общей массы, а в сене — 40\%. Сколько нужно скосить травы, чтобы получить 5 т сена?

Яблоки при сушке теряют 85\% своей массы. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить 10,5 кг сушеных?

Цена на товар была повышена на 25\%. На сколько процентов следует снизить новую цену, чтобы получить первоначальную цену?

Пока болел директор объем продаж фирмы снизился на 20\%. На сколько процентов он должен теперь повыситься, чтобы достичь прежнего уровня?

Услуги частного брокера Иванова на 60\% дешевле, чем услуги брокерской компании «Петров и партнеры». Если гражданин Сидоров предпочтет воспользоваться услугами компании «Петров и партнеры», на сколько процентов больше он заплатит (чем в случае обращения к брокеру Иванову)?

В начале года в гипермаркете телевизор «Прогресс» стоил 250 евро. В течение года его стоимость увеличилась на 10\%, однако перед новогодними праздниками руководство гипермаркете снизило цены на всю электронику на 10\%. Сколько заплатила семья Ивановых за новых телевизор, купленный на новогодней распродаже?

Из-за надвигающегося тропического шторма объем добычи нефти в Мексиканском заливе был снижен на 80\%. На сколько процентов нужно его увеличить, чтобы достигнуть прежнего уровня добычи?

В начале 2004 года себестоимость производства одной пары валенок равнялась 50 рублей. В 2004-2005 годах на предприятии проводилась реструктуризация. В течение первого года реструктуризации себестоимость производства повысилась на некоторое число процентов, а в течение второго снизилась на такое же число процентов (по отношению к повышенной себестоимости). В результате в конце 2005 года себестоимость одной пары валенок стала равна 48 рублям. Определите процент повышения и снижения себестоимости производства пары валенок в 2004 и 2005 годах.

Сразу после окончания экономического факультет МГУ Ольга Горелкина устроилась работать в инвестиционную компанию. За первый год работы ее месячная зарплата выросла на 50\%, за второй — еще на 70\%. Из-за сокращения количества заказов на третьем году работы ее зарплата снизилась на 20\%>. Но на следующий год доходы инвестиционной компании возросли, и за четвертый год зарплата Ольги выросла на 25\%. На сколько процентов выросла зарплата Ольги за четыре года, прошедшие с момента окончания МГУ?

В 2002 году прибыли компаний «Сибирские самоцветы», «Уральские самоцветы» и «Якутские самоцветы», входящих в финансово-промышленную группу «Русские самоцветы», рассчитанные в млн. рублей, соотносились как

2 : 5 : 4. В 2003 году прибыль каждой компании из группы «Русские самоцветы» выросла на 5 млн. рублей. Какая из трех компаний по итогам 2003 года сообщила о наибольшем темпе роста прибыли?

1.36. В 2003 году затраты компаний «Сибирские самоцветы», «Уральские самоцветы» и «Якутские самоцветы», входящих в финансово-промышленную

группу «Русские самоцветы», рассчитанные в млн. рублей, соотносились как

3 : 6 : 5. В 2004 году затраты каждой компании из группы «Русские самоцветы» снизились на 7\%. Какая из трех компаний группы «Русские самоцветы» по итогам 2004 года сообщила о наибольшей экономии денежных средств?

Про опытных аналитиков Ивана и Давида известно, что ошибка их экономических прогнозов не превышает, соответственно, 5\% и 10\% от выданного прогноза. В каких пределах следует ожидать цену на бензин марки А95 в следующем году, если прогноз Ивана составил 16 рублей, а прогноз Давида составил 18 рубля за литр. Предполагается, что опытные аналитики ошиблись не более чем обычно.

В поселке Солнечный на берегу Черного моря 9\% коренного населения в зимний период заняты народным промыслом. Летом 36\% коренного населения уезжает из города, однако общая численность населения поселка за счет приезжающих туристов составляет 80\% от численности в зимний период. Определите, какая часть от общей численности населения в летний период занята народным промыслом, если среди коренного населения доля занятых народным промыслом осталась такой же, как и в зимний период.

В рамках денежной реформы Центральный банк страны решил провести замену старых денежных купюр на новые с улучшенной системой защиты. По оценкам специалистов ЦБ, в начале года в обращении находилось 2 млн. купюр различного достоинства. В первом квартале была осуществлена замена 40\% имеющихся в обращении купюр на новые, во втором — 300 тысяч купюр, а в третьем— 10\% от остающихся в обращении старых купюр. Сколько купюр требуется заменить Центральному банку в четвертом квартале, если он намерен полностью завершить обмен к концу года?

В течение декабря ОАО «ТМП» перевело с расчетного счета в банке «Огни Первопрестольной» (Москва, Россия) на счет в банке "Libertados Mercosur" (Санто-Доминго, Доминиканская республика), 50\% от имевшихся на счету денежных средств, затем еще 10 млн. долларов, затем еще 5\%> от оставшихся на счету денег. При этом сумма денег на расчетном счету предприятия в банке "Libertados Mercosur" увеличилась на 31\%. Сколько денег было на расчетном счету ОАО «ТМП» в банке «Огни Первопрестольной» в начале декабря, если на расчетном счету предприятия в банке "Libertados Mercosur" изначально было 200 млн. долларов.

Банк «Светлый» продал банку «Золотой» пакет акции ОАО «Красный пролетарий», чтобы уравнять их доли в капитале этого акционерного общества. Если бы, наоборот, банк «Золотой» продал банку «Светлый» такой же пакет акций, то доля банка «Светлый» в акционерном капитале ОАО «Красный пролетарий» оказалась бы в пять раз больше, чем у банка «Золотой». Определите, во сколько раз пакет акций, которым обладал банк «Светлый» до сделки, больше, чем пакет, которым обладал банк «Золотой» до сделки.

С расчетного счета в банке А предприятие в апреле перевело некоторую сумму на свой расчетный счет в банк Б, после чего на расчетном счету в банке А было в три раза больше денег, чем в банке Б. В мае предприятие перевело аналогичную сумму из банка А в банк Б, после чего на расчетном счете в банке Б денег стало всего в два раза меньше, чем в банке А. Во сколько раз сумма денег на расчетном счете предприятия в банке А была больше суммы денег на расчетном счете в банке Б изначально?

Если запланированный биржей объем торгов на август увеличить втрое, то суммарный объем торгов в июле и августе возрастет вдвое. Во сколько раз надо увеличить план на июль, оставив неизменным (т.е. на первоначальном уровне) план на август, чтобы суммарный объем торгов возрос втрое?

Фирма совершала сделки по покупке и продаже автомобилей одной марки, покупая один автомобиль по 7000 у.е. и продавая по 9000 у.е. Всего поэтам сделкам за день прошли 32 автомобиля. Какую часть от общего числа сделок составили сделки по продаже автомобилей, если по итогам дня у фирмы образовался нулевой баланс?

Брокерская фирма выставила на торги пакет акций, состоящий из акций двух компаний: нефтяной компании (по 100 долларов за акцию) и газовой компании (по 65 долларов 60 центов за акцию). Всего было выставлено 200 акций. Все акции газовой компании были проданы, а часть акций нефтяной компании осталась непроданной. Общая сумма выручки оказалась равной 13120 долларов. Определите процент акций газовой компании в выставленном на продажу пакете и найдите сумму выручки, полученной за акции газовой компании.

Мебельная фабрика закупает картон двух сортов: первого и второго. Объем поставок за последний месяц составил: первого сорта — на 1,2 млн. рублей, второго — на 1,5 млн. рублей. Определите, на сколько процентов картон второго сорта дешевле картона первого сорта, если картона второго сорта было закуплено на 10 т. больше и он был на 20 руб. /кг дешевле первого.

В целях стимулирования продаж магазин установил 10\% скидку на каждую пятую продаваемую газонокосилку и 25\% на каждую тринадцатую продаваемую газонокосилку. В случае если на одну газонокосилку выпадают обе скидки, то применяется большая из них. Всего в ходе рекламной акции было продано 1000 газонокосилок. Определите выручку магазина от продажи партии газонокосилок, если цена одной газонокосилки составляет 1000 рублей.

Партия валюты была доставлена в банк двумя инкассаторскими машинами, в каждой из которых было 60 мешков валюты, при этом в 21 мешке были доллары, а в остальных — евро. Сколько мешков с долларами было в каждой машине,' если известно, что в первой машине на один мешок с долларами приходилось в три раза больше мешков с евро, чем во второй.

Отец предполагал распределить некоторую сумму денег между своими тремя сыновьями (старшим, средним и младшим) в отношении 7:6:5. Затем он изменил свое решение и эту же сумму разделил в отношении 6 : 5 : 4. Известно, что в результате второго деления старший сын получил на 12 тысяч рублей больше, чем получил бы по первому делению. Какую сумму получил в результате каждый брат в качестве наследства?

В начале предвыборной гонки предпочтения избирателей распределялись по трем кандидатам на должность мэра, как 1 : 2 : 1, а в конце как 5 : 5 : 6, из-за отказа от голосования 40\% избирателей. Сколько процентов сторонников каждого кандидата отказалось от голосования, если пришедшие на выборы избиратели своего первоначального мнения не меняли (кроме того недействительных бюллетеней и голосов, поданных «против всех», не было)?

1.1. Сколько денег лежит на расчетном счете предприятия в банке, если 7\%

от этой суммы равно 15\% от 140 тысяч рублей (в тысячах рублей):

80

280

65

300

220

1.2. Семен Каминский планировал израсходовать на поездку в Германию 1400

евро. Сколько денег осталось в распоряжении господина Каминского, если

сумма, которую он потратил в Германии, составляет 150\% от оставшихся после поездки денежных средств (выберите наиболее точный вариант).

840 евро

930 евро

700 евро

560 евро

620 евро

1.3. Богатый дядюшка оставил четверым своим племянникам 272 млн. долларов, причем они были разделены на четыре части так, что вторая составляет

15\%) первой, третья — 60\% второй, тогда как четвертая — 50\% от величины

второй и третьей вместе взятых. Чему равна меньшая часть наследства?

24 млн. евро

18 млн. евро

36 млн. евро

15 млн. евро

28 млн. евро

1.4. Предположим, что правительство Мальты установило следующие таможенные

пошлины на импорт бананов: 25\% от стоимости партии, но не менее $50 за тонну. Фирма «Вапапа inc..» заключила контракт на поставку 100 тонн бананов для

гостиниц Ла-Валетты (столица Мальты). Если цена бананов составляет

$300 долларов за тонну, то в этом случае фирме придется заплатить:

$75 за каждый кг

$5000 за весь контракт

$7500 за весь контракт

$50 за каждую тонну

$125 за каждую тонну

Здесь и далее ряд тестовых заданий взят из вариантов вступительных экзаменов «Общеобразовательный тест» (за 1994-1998 гг.) и «Обществознание» (за 2000-2005 гг.) экономического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Общеобразовательный тест: Пособие для поступающих. М.: Экономический факультет МГУ, 1997; Общеобразовательный тест-97 / Под ред. А.В. Кочергина. М.: Экономический факультет, 1998; Тест по обществознанию. Варианты экзамена с 2000 по 2005 год. Учебное пособие / Под ред. А.Г. Худокормова. М.: Экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, ТЕИС, 2005).

1.5. В 2005 году фирма "Eldorado", зарегистрированная в свободной экономической зоне, получила прибыль в размере $40 ООО. Согласно законодательству, с

полученных 4\% прибыли нужно уплатить налог в размере 5\%. Какую часть от

всей полученной прибыли нужно выплатить фирме в качестве налога?

1\%

0,8\%

2\%

1,25,\%

0,2\%

1.6. В университетском буфете шоколадка стоит на 40\% дороже мороженого, а мороженое, в свою очередь, на 15\% дешевле бутылки минеральной воды. Как

в университетском буфете соотносятся цены на минеральную воду и шоколад?

бутылка минеральной воды примерно на 49\% дешевле шоколадки

шоколадка примерно на 19\% дороже бутылки минеральной воды

шоколадка примерно на 45\% дороже бутылки минеральной воды

шоколадка примерно на 40\% дороже бутылки минеральной воды

бутылка минеральной воды примерно на 29\% дешевле шоколадки

1.7. В компании работает 4 копировальных аппарата, которые вместе за 20 минут работы снимают 480 копий. Руководство компании, в связи с увеличением спроса на услуги фирмы, увеличило количество эксплуатируемых

аппаратов на 75\%. Тогда после введения в строй новых аппаратов за 15 минут работы компания сможет делать:

630 копий

210 копий

315 копий

1050 копий

840 копий

1.8. В склад завезли 25 тонн картофеля. Из-за нарушения условий хранения 5 тонн

сгнили. На сколько процентов нужно увеличить цену одного кг картофеля, чтобы получить прежнюю выручку? Укажите наиболее точный результат.

на 15\%

на 25\%

на 20\%

на 5\%

зависит от стоимости картофеля

1.9. Про каждого из аналитиков Р и С известно, что ошибка их прогноза цены

на нефть не превышает соответственно 5\% и 10\% от выданного прогноза. В

каких пределах следует ожидать цену на нефть, если прогноз Р составил 22

доллара, а прогноз С составил 24 доллара за баррель. Предполагается, что

аналитики ошиблись не более, чем обычно.

от 21,9 до 25,4 долларов за баррель

от 21,6 до 23,1 долларов за баррель

от 21,6 до 27,3 долларов за баррель

от 20,9 до 26,4 долларов за баррель

от 24,7 до 26,4 долларов за баррель

1.10. В банке сумма кредитов, выданных населению, составляет 40\% от суммы

депозитов, привлеченных от населения, а сумма кредитов, выданных предприятиям, — 25\% от суммы кредитов, выданных населению. Какую часть от

привлеченных депозитов банк выдает в качестве кредитов?

45\%

50\%

60\%

65\%

85\%

1.11. Из прибыли в 5 млн. рублей фирма отчисляет 28\% в строительный фонд,

причем 7\% из них для строительства базы отдыха. Сколько денег из прибыли

выделяет фирма для строительства базы отдыха?

10800 рублей

108000 рублей

98000 рублей

980000 рублей

180000 рублей

1.12. В Донецкой области в августе 2005 году стоимость литра бензина подскочила на 300\%). Возмущенные водители перекрыли дороги и потребовали вернуть

цены к прежнему уровню. На сколько правительство должно уменьшить цены?

300\%

200\%

150\%

75\%

50\%

1.13. В ноябре 2005 года (после заявления Президента о необходимости ужесточения контроля за выдачей водительских прав цены на нелегальном рынке

водительских прав) выросли на 150\%, а в декабре того же года после (после

перехода к новому порядку выдачи водительских прав с 1.01.2006 г.) цены

выросли еще на 50\%. Насколько выросла цена прав на подпольном рынке

прав за ноябрь — декабрь 2005 года?

200\%

275\%

375\%

650\%

750\%

1.14. Цену товара первоначально снизили на 20\%, затем новую цену снизили

еще на 30\%, наконец, в третий раз товар уценили на 50\%. Определите, на

сколько процентов всего подешевел товар в результате трех уценок:

100\%

97\%

92,5\%

75\%

72\%

1.15. В сушеных грушах 10\% воды, а в свежих — 82\%. На сколько процентов

уменьшается масса груш при сушке?

72\%

76\%

80\%

84\%

88\%

1.16. В винограде 90\% воды, а в изюме — 15\%. На сколько процентов масса

винограда больше массы полученного из него изюма?

750\%

500\%

240\%

75\%

50\%

1.17. Фирма закупила у лесников партию грибов весом 250 килограмм. Сколько

выручит фирма от продажи этой же партии, но в сушеном виде, если свежие

грибы содержат 90\% воды, а сухие — 12\%, а стоимость одного килограмма

сухих грибов составляет 125 рублей (выберите наиболее точный вариант):

1330 рублей

3340 рублей

3550 рублей

3760 рублей

6870 рублей

1.18. За 1991 год цена автомобиля «ВАЗ-2110» выросла на 50\%, а за 1992 год —

еще на 700\%. В результате за два года цена автомобиля «ВАЗ-2110» выросла на:

1100\%>

1200\%

3500\%

750\%

2450\%

1.19. За первый год цена книги выросла на 800\%, а за второй — на 600\%. В результате за два года цена книги увеличилась на:

4700\%

6300\%

4800\%

1400\%

6200\%

1.20. За вторую половину XX века в результате научно-технического прогресса

цены на компьютеры снизились в 32 раза. Это эквивалентно уменьшению

(укажите наиболее точный вариант):

на 103\%

на 3100\%

на 3\%

на 97\%

на 68\%

J.21. В комиссионном магазине вещь уценили сначала на 20\%, а затем еще на 15\%. На сколько процентов была уценена вещь за два раза?

28\%

30\%

32\%

35\%

38\%

1.22. На первой линии вырабатывается 350 пачек макарон за 15 минут, а на второй — 480 пачек за 18 минут. Какой процент составляет объем продукции

первой линии, произведенной за 7 часов 36 минут непрерывной работы, от

объема продукции, произведенной на второй линии за то же время? Укажите

наиболее точный ответ.

87,5\%

102,1\%

133\%

76,4\%

114,2\%

1.23. Первый продавец реализует 4 квартиры за 5 часов, а второй — 5 квартир

за 6 часов. Какой процент составляет объем продаж первого продавца

за 8 часов 30 мин. от объема продаж второго продавца за то же время? Выберите наиболее точный вариант:

89,3\%

96\%

104,2\%

107,5\%

112\%

1.24. Объемы валового внутреннего продукта стран А, В и С, рассчитанные в

долларах США, в 1998 г. относились как 1 :3 : 2. В 1999 г. объем валового

внутреннего продукта в каждой из стран вырос на 5 млрд. долл. В какой

из стран были наибольшие темпы экономического роста?

в стране С

в стране А

темпы экономического роста во всех странах одинаковые

для ответа на вопрос недостаточно данных

в стране В

1.25. В 2004 году объемы производства корпорации Меххо inc. в Азербайджане,

Германии, России, США и Франции, рассчитанные в млн долларов США, соотносились как 18 : 150 : 115 : 240 : 140. В 2005 году объем выпуска компании в

каждой из этих стран вырос на 2,5 млн. долларов США. В какой из этих стран

корпорацией Меххо были достигнуты наименьшие темпы роста производства?

в Азербайджане

в Германии

в России

в США

во Франции

1.26. Бюджет программы «Улучшение демографической ситуации в России» на

текущий год составляет 798 млн. рублей. В первом полугодии было израсходовано 5/8 выделенных денежных средств, в третьем квартале 5/9 от оставшегося объема, а в октябре — 1/7 остатка. Определите величину денежных

средств, оставшуюся на ноябрь-декабрь текущего года?

102 млн. рублей

114 млн. рублей

98 млн. рублей

121 млн. рублей

108 млн. рублей

1.27. Из запланированных на год 828 млн. руб. инвестиций в I квартале было

израсходовано 4/7 от общего объема, во II квартале было истрачено 5/9 оставшегося, а в Ш-ем израсходовали 1/8 того, что осталось на второе полугодие. Какая сумма (в млн. руб.) осталась на четвертый квартал?

141

132

138

144

135

1.28. В первой партии предприятие поставило заказчику 25\% от общего количества

заказанных изделий, во второй — 45\% от оставшейся части заказа, в третьей —

20\% от оставшегося после первых двух поставок долга, а в четвертой —5280

изделий, полностью выполнив договор. Определите общий объем заказа:

16000 изделий

25200 изделий

32000 изделий

43600 изделий

52800 изделий

1.29. В первой партии предприятие поставило заказчику 35\% от общего количества

заказанных изделий, во второй — 25\% от оставшейся части заказа, в третьей —

20\% от оставшегося после первых двух поставок долга, а в четвертой — 4680

изделий, полностью выполнив договор. Определите общий объем заказа:

23400 изделий

20600 изделий

18000 изделий

14800 изделий

12000 изделий

1.30. В 1993 году объем добычи угля на шахте А составлял 60\% от объема добычи угля на шахте Б. В 1994 году объем добычи на шахте А вырос на 16\%, а

суммарная добыча угля на двух шахтах уменьшилась на 9\%. На сколько процентов уменьшилась добыча угля на шахте Б1

26\%

28\%

30\%

32\%

24\%

1.31. Вкладчик снял с текущих счетов в банках А и Б одинаковые суммы, после

чего величина вклада в банке А стала в три раза больше, чем величина вклада

в банке Б. После того, как в следующем месяце он снял с обоих счетов такую

же сумму сумма денег, лежащая во банке Б, стала меньше суммы, лежащей

на счету в банке А, в четыре раза. На сколько была изначально больше величина вклада в банке А по сравнению с величиной вклада в банке Б:

на 250\%

на 150\%

на 50\%

на 200\%

на 100\%

1.32. В июле 2005 года в Московской области установилась необычайно теплая

погода. В связи с увеличением спроса на кондиционеры фирма, специализирующаяся на их продаже, повысила цены на них на 20\%. В июле, после снижения температуры фирма для стимулирования продаж решила снизить цены

на кондиционеры на 15\%. Как в итоге изменилась цена кондиционера

по отношению к первоначальной?

увеличилась на 5\%

снизилась на 3\%

осталась неизменной

понизилась на 4\%

повысилась на 2\%

1.33. Транспортный караван компании "Intermarket" проследовал из Камбоджи

в Мьянму, проехав транзитом через территорию Таиланда. В Камбодже была

уплачена 12\% экспортная пошлина, в Таиланде компания заплатила 8\% транзитную пошлину, а в Мьянме — 15\% импортную пошлину. Какова была первоначальная стоимость груза, если после уплаты указанных пошлин она

составила $405 тысяч, а пошлины рассчитывались в процентах от первоначальной стоимости груза (укажите наиболее точный вариант):

$250 тысяч

$270 тысяч

$290 тысяч

$300 тысяч

$320 тысяч

1.34. На новых станках при меньших на 28\% затратах электроэнергии можно

изготовить на 50\% больше деталей, чем на старых станках. На сколько процентов уменьшился расход электроэнергии на одну деталь в станках новой

конструкции?

78

64

72

52

48

1.35. После реконструкции цеха количество рабочих в нем сократилось на 10\%,

производительность их труда возросла на 75\%, а потребление цехом электроэнергии увеличилось на 26\%. На сколько процентов уменьшились затраты

электроэнергии в расчете на единицу продукции?

30\%

25\%

15\%

20\%

39\%

(1) (2) (3) (4) (5)

1.36. В начале совещания в комнате было Р человек. В течение первого часа из

комнаты вышло Q человек, и за тот же час в комнату вошло R человек. Какое

выражение дает процент числа участников совещания, не присутствующих

в комнате хотя бы некоторое время в течение первого часа, к числу принимавших участие в совещании в течение всего часа? (Никто из вышедших обратно

не вернулся.)

100(6 + /?) P-Q + R 100(/> + g)

P-Q+R 100-Р

P-Q

юо(6+/г)

P-Q юо-(е+л)

P-R + Q

1.37. В начале года на фирме было N сотрудников. В течение года М человек было

уволено или перешло на другие работы по собственному желанию, а К человек

были зачислены в штат. Какое выражение дает процент числа сотрудников

фирмы в конце года по отношению к числу сотрудников фирмы, работавших на

данной фирме лишь часть времени в течение этого года? (Никто из покинувших

фирму обратно не восстанавливался.)

m(N-M + K)

(1) і 1

N-K IOOJN-M + К)

N-M

шм-м + к)

M + K

WO-(M-N)

(4) V /

K + M

(5) 1^

M + K

1.38. Два мастера производят одинаковые изделия. Первый делает 9 изделий за 5 часов, второй делает 7 изделия за 3 часа. Каждый из них расходует 16 кВт./ ч электроэнергии в час, оплачивая ее из расчета 1 руб. 48 коп. за 1 кВт. / ч. Какой процент составляют затраты на электроэнергию в расчете на одно изделие, произведенное первым мастером, от аналогичного показателя для второго мастера, если они работали 5 дней по 8 часов 24 минут в день? Выберите наиболее точный ответ.

77\%

80\%

97\%

117\%

130\%

140\%

0) (2) (3) (4) (5) (6)

139. Два землекопа вспахали поле. Производительность первого землекопа на р\% больше, чем второго, но он работал в к раз меньше. Какую часть поля вспахал второй землекоп? 100-А

100 + р

Ш-р Щк + )-р

100* Щк + ) + Р 100+ р 100* + р Шк-рк

100

Шк-рк Щк + )-рк

1.40. В фирме имеется три подразделения А, Б и В. В 2004 г. их фонды оплаты труда относились как 8 : 13 : 11, а в 2005 г. как 6:11:13. Какие из перечисленных ниже утверждений обязательно верны, если известно, что суммарный объем фонда оплаты труда фирма в 2005 г. не изменился по сравнению с 2004 г.? Выберите правильный и полный вариант. 1. Фонд оплаты в А уменьшился на 20\%; 2. Абсолютное уменьшение фонда оплаты в А меньше абсолютного уменьшения фонда оплаты в Б; 3. Доля Б в общем фонде оплаты труда фирмы в 2005 г. упала по сравнению с 2004 г.

1,2

2, 3

1,3

3

все утверждения верны

1