Глава 2. средние величины в экономике

Глава 2. средние величины в экономике

Роль средних величин в экономических исследованиях чрезвычайно велика. В этой главе мы рассмотрим два основных вида средних величин, наиболее широко используемых в экономике, — среднюю арифметическую и среднюю геометрическую.

Указанные средние величины могут быть вычислены либо когда каждое значение в исследуемой совокупности встречается только один раз, при этом средняя называется простой или невзвешенной, либо когда значения повторяются различное число раз, при этом число повторений называется частотой или весом, а средняя, вычисленная с учетом весов, — средней взвешенной.

Исследуемая экономическая совокупность (или, как говорят статистики, ряд распределения) может состоять из различных элементов. Это могут быть люди, предприятия, регионы и т.д. При этом в роли элементов могут выступать как отдельные единицы (например, одна семья или одно предприятие), так и группы однородных объектов (например, развивающиеся и развитые страны). Каждый из элементов характеризуется каким-то качественным (например, форма собственности предприятия: частное или государственное предприятие) или количественным (например, величина заработной платы) экономическим показателем, среднее значение которого и анализируется в задании.

Самый распространенный (и наиболее простой) вид средней величины — средняя арифметическая, под которой понимается такое значение анализируемого показателя, которое имел бы каждый элемент исследуемой совокупности, если бы общий итог значений показателя был равномерно распределен между всеми элементами совокупности, иначе говоря, если бы значения всех элементов совокупности были бы равны. Так, например, если мы хотим определить среднюю заработную плату на предприятии, то мы можем ее найти, сложив все заработные платы работников (то есть определив общий фонд оплаты труда) и разделив полученную сумму на общее количество работников.

Отметим, что если в задании не указывается вид искомой средней величины, то, как правило, подразумевается средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

п п

где х — значение средней величины, п — количество элементов в исследуемой совокупности, і — номер элемента исследуемой совокупности (і принимает значения от 1 до п), х} — значение элемента совокупности с номером /'.

Операцию суммирования принято обозначать с помощью символа V^, при

этом нижний индекс означает номер первого элемента, с которого нужно начать суммирование (если і = 1, то это первый элемент совокупности), а верхний — последнего элемента. К примеру, символ ^Гх. означает, что следует просуммировать значения элементов x5,x6,x7,xg и х9.

Пример. В семье Ивановых, состоящей из 4 человек, расходы на сотовую связь в прошедшем месяце составили 1450 рублей у главы семейства, Петра Иванова, 1200 рублей у Светланы Ивановой, 870 рублей у дочери Марии и 200 рублей у сына Николая. Определите величину среднемесячных расходов членов семьи Ивановых на сотовую связь.

Решение:

Поскольку каждое значение анализируемой экономической величины (т.е. величина расходов на сотовую связь) встречается только один раз, то следует использовать формулу простой средней арифметической:

4

Ух

_ fV ' 1450+1200 + 870 + 200 _

х = —— = = 930 (рублей).

4 4

Таким образом, среднемесячные расходы членов семьи Ивановых на сотовую связь равны 930 рублей. Ответ: 930 рублей в месяц.

Средняя арифметическая взвешенная рассчитывается по формуле:

Z

n.xl J J т „

где х — значение средней величины, п — количество элементов в исследуемой совокупности, т — количество различных значений элементов, и. — количество элементов в j группе (J принимает значения от 1 до т), х; — значение элемента в j группе. Иначе говоря, я. — числа, показывающие сколько раз встречается в исследуемой совокупности данное значение (веса или частоты), а

піп — частости. При этом ]|Г иу = п, a = 1

' М 7=1 П

Легко заметить, что формула для расчета средней арифметической взвешенной не имеет принципиальных отличий от формулы для расчета простой средней арифметической, просто суммирование п} раз одного и того же значения признака заменено умножением значения признака на п}. При этом величина средней зависит уже не только от величины индивидуальных значений признака (как при расчете простой средней арифметической), но и от соотношениях их весов. Чем большие веса имеют малые значения, тем меньше величина средней и наоборот.

Пример. В Интернет-магазине «Книга на дом» работает четыре категории работников: директор (зарплата — 45 тыс. рублей), бухгалтер (зарплата — 35 тыс. рублей), 5 менеджеров по приему заказов (зарплата — 20 тыс. рублей) и 25 курьеров по доставке заказов (зарплата — 12 тыс. рублей). Определите среднемесячную заработную плату сотрудника фирмы.

Решение:

1 • 45000 +1 ■ 35000 + 5 ■ 20000 + 25 12000 480000

32

32

Исходя из условия задачи, при решении следует использовать формулу взвешенной средней арифметической. Для удобства решения можно составить следующую таблицу:

=15000,

2>,

то есть среднемесячная заработная плата равна 15 тысячам рублей. Ответ: 15000 рублей в месяц.

Комментарий:

Средняя арифметическая взвешенная применяется также при вычислении общей средней для всей исследуемой совокупности из частных (групповых) средних, при этом в качестве значений рассматриваемого показателя выступают групповые средние, а весами служат численности каждой группы.

-х, + — _х п

!7_

п

Как правило, в заданиях вступительного экзамена на средние величины рассматриваются только две группы (например, две категории работников). В этом случае формула средней арифметической взвешенной принимает вид:

•х, п. и, и, и.

*2

_ п. ■ х. + п,

X = — '■ «, + П2 п+п2 П+П7

где х — значение средней величины, щ и п2 — количество элементов в первой и во второй группе соответственно, ї| и х2 — среднее значение анализируемого

п.

показателя для каждого элемента первой и второй группы соответственно, — и

п

її

— — доля (вес) первой и второй группы в общей совокупности соответственно.

п

Таким образом, при решении задач вступительного экзамена на средние величины абитуриенту, в первую очередь, нужно определить, что выступает в задании в роли анализируемого показателя (иначе говоря, среднее значения какого показателя нужно найти), а что — в роли весов.

Пример. Молокозавод закупает молоко на двух молочных фермах: 40\% на первой, а остальную часть — на второй. Стоимость одной тонны молока на первой ферме составляет 12 тысяч рублей, тогда как на второй — 10 тысяч рублей. Определите среднюю стоимость тонны молока, поставляемой на молокозавод.

Решение:

В данной задаче в роли анализируемого показателя (х) выступает стоимость тонны молока, тогда как весами выступают объемы поставок молока первой и второй фермами на молокозавод. Отсюда имеем: х, = 12 (тыс. рублей),

хг = 10 (тыс. рублей), —^— = 0,4, —^— = 0,6.

и, + п2 и, + пг

Используя формулу средней арифметической взвешенной, получим:

х=— 12 + — 10 = 4,8 + 6 = 10,8. 10 10

Таким образом, средняя стоимость тонны молока, поставляемой на молокозавод, равна 10,8 тысяч рублей. Ответ: 10,8 тысяч за тонну.

Комментарий:

Важно понимать, что средняя величина, по определению, всегда находится между известными значениями элементов совокупности. Так, для случая двух групп х, < х < х2 (при х, < хг). Соответственно, в нашем примере средняя стоимость тонны закупаемого молока должна быть заведомо больше 10 тысяч рублей и меньше 12 тысяч рублей за тонну. Последнее свойство средней величины полезно использовать для контроля полученного результата.

Если в задании просят определить долю отдельной группы в общем объеме совокупности, то формулу средней арифметической взвешенной можно преобразовать следующим образом:

-х, +(1-а).

( п,

"l + П2 J

где а — доля первой группы, (1-а) — доля второй группы.

Пример. Средняя заработная плата преподавателей вузов города Энска в 2005 году составляла 26 тысяч рублей в месяц, а остальных преподавателей ■— 16 тысяч рублей. Определите, какую долю от числа всех преподавателей города Энска составляют преподаватели вузов, если в 2005 году средняя заработная плата преподавателя в Энске равнялась 22 тысячи рублей.

Решение

Обозначшм за а — долю преподавателей вузов среди всех преподавателей города Энкса, тогда доля остальных преподавателей вузов равна (1 а).

Используя преобразованную формулу средней арифметической взвешенной, получим:

5с = а-х, + (1-а)-х2=>22 = а-26 + (1-а)-16.

Решая полученное уравнение, найдем, что а = 0,6, то есть 60\% всех преподавателей в городе Энске составляют преподаватели вузов.

Ответ: доля преподавателей вузов среди всех преподавателей равна 60\%.

Одним из наиболее распространенных видов экономико-математических заданий на вступительном экзамене по обществознанию являются задачи на сопоставление средних величин для двух совокупностей (к примеру, стран) или же анализ изменения какой-либо средней величины во времени.

В первом случае типовым является вопрос «Как соотносятся средние величины в совокупностях А и £?». Для ответа на него нужно определить значение средней величины для совокупности А (хА) и для совокупности Б (хБ) и сравЗс,

нить полученные значения между собой, т.е. найти значение отношения —.

ХБ

Если ^->1, то среднее значение исследуемого показателя для совокупности А

ХБ

больше среднего значения исследуемого показателя для совокупности Б, и наоборот. Если ■§1 = 1, то средние значения для двух совокупностей равны.

ХБ

Пример. Фирмы «Люкс» и «Автомир» специализируются на продаже автомобилей Skoda. В текущем месяце фирма «Люкс» реализовала 10 автомобилей Skoda Octavia и 40 Skoda Fabia, тогда как фирма «Автомир» — 35 автомобилей Skoda Octavia и 5 Skoda Fabia. Определите, как соотносятся средние доходы фирм от продажи одного автомобиля, если цена автомобиля Skoda Octavia на 40\% выше цены Skoda Fabia.

Решение:

Обозначим за х цену автомобиля Skoda Fabia. Тогда цена автомобиля Skoda Octavia — 1,4л.

Можно рассчитать, что средний доход фирмы «Люкс» от продажи одного автомобиля в текущем месяце составил:

10-1,4jc + 40-jc 54

^Люкс ^ '

10 + 40 50

А средний доход фирмы «Автомир» от продажи одного автомобиля в текущем месяце составил:

_35-1,4х + 5-х_54 *а„том„р- 35 + 5 ~40хСравнивая средние доходы фирм от продажи одного автомобиля в текущем месяце, получим, что

£^=54х/54х=50= 5> х„„„ 40 50 40

Ответ: у фирмы «Автомир» на 25\% больше.

Во втором случае типовым является вопрос «Как изменился за прошедший период средний уровень экономического показателя?». При ответе на него нужно определить среднее значение анализируемого показателя в базовом (х0) И в текущем (х,) периодах, и сравнить полученные значения между собой, т.е. X х

найти отношение Если ~>, то среднее значение исследуемого показателя хо хо

Х~ X

увеличилось, если rL<l, то снизилось, если з-=1, то не изменилось.

Х0 хо

Пример. Компания «Винтик и Шпунтик» производит шурупы. В 2004 году 10\% затрат на производство шурупов составляли расходы на электроэнергию, 60\% уходило на закупку необходимого металла, а 30\% — на все остальное. В 2005 году металл подорожал на 5\%, тогда как тарифы на электроэнергию сократились на 20\%. Определите, как изменилась себестоимость производства одного шурупа, если остальные затраты и выпуск шурупов остались на прежнем уровне.

Решение:

Пусть себестоимость шурупа в базовом периоде равнялась АС0 (денежных единиц, д.е.). Поскольку затраты на выпуск одного шурупа пропорциональны всем затратам на производство шурупов, то в 2004 году затраты на металл, на энергию и прочие затраты в себестоимости шурупа составляли, соответственно, 0,6 АС0, 0,1 АС0 и 0,3 АС0:

АС0

0,ЫС0 0,6АС0 о,злс0

Обозначим себестоимость шурупа в текущем периоде через А С, (денежных единиц), Поскольку в текущем периоде металл подорожал на 5\%, тарифы

на электроэнергию сократились на 20\%, то в себестоимости производства одного шурупа в 2005 году затраты на металл будут составлять 0,63 АС0 д.е., затраты на электроэнергию — 0,08 АС0, остальные затраты — 0,3 АС0:

0,1АС0 0,6ЛС0 0,ЗЛС0

•Ir ■і'

0,ЫС0-0,8 0,6ЛС0 1,05 0,ЗЛС0-1,0

4- -і40,08ЛС0 0,63ЛС0 0,ЗЛС0

Таким образом, себестоимость производства одного шурупа в текущем периоде (2005 году) составила АС, = 0,08/(С0 +0,63ЛС0 + 0,ЗЛС0 = 1,0ЫС0 (денежных единиц), то есть по сравнению с базовым периодом (2004 годом) она Увеличилась иа 1\% {ACJАС0 = 1,01).

Ответ: еебестоимость производства шурупа возросла на 1\%.

Средняя геометрическая используется, в основном, для анализа темпов изменения экономических величин во времени.

Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:

Хгеом. ~ >/Х1 ' XZ ' ■ ' •' Хп >

где п — количество элементов в исследуемой совокупности.

Средняя геометрическая взвешенная рассчитывается по формуле:

где m — количество различных значений элементов, и; — количество элементов в j группе {/=1,2, ... т), Xj — значение элемента в у группе.

Так, по формуле средней геометрической рассчитывается средний коэффициент роста, под которым понимается такой постоянный темп роста рассматриваемого показателя, который за п промежутков времени дает такое же изменение первоначальной величины, которое она получает в действительности, при неравных поэтапных изменениях. В этом случае индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные как отношения каждого уровня ряда к предыдущему уровню (см. введение).

Пусть имеется ряд наблюдений какого-то экономического показателя за и+1 последовательных периодов: у0,у,,...,у„. Коэффициенты роста к, для каждого периода составляют, соответственно: к.=—,кг=—,...,кп-^JL-. В этом

Уа У> у*случае средний коэффициент роста можно рассчитать по следующей формуле:

V-Vo У у»Как видно из приведенных формул, средний коэффициент роста зависит от значений крайних уровней ряда, поэтому одинаковый темп роста можно получить для рядов с совершенно различным характером изменения в течение анализируемого периода. Так, к примеру, пусть на одном предприятии объем производства в течение трех последних лет ежегодно увеличивался на 11\%, тогда как на втором в течение первого года вырос на 60\%, а затем упал на 5\% и 10\%, соответственно. Несмотря на качественно разную динамику объема производства в рассматриваемый период, средний коэффициент роста на обоих предприятиях равен примерно 1,11 (поскольку ^/1,6-0,9-0,95 »1,11).

Зная средний коэффициент роста, можно найти средний процент прироста:

q =(F-l)-100\%.

Средний процент прироста можно рассчитать напрямую, если изначально нам были даны ежегодные изменения анализируемого показателя в процентах:

где q — процентное изменение анализируемого показателя в ; периоде (і = 1 я).

Важно понимать, что средний темп (процент) прироста за п лет не равен среднему арифметическому темпов (процентов) прироста в течение этих п лет. Это наиболее распространенная ошибка, которую допускают абитуриенты при решении подобных задач.

Пример. В таблице приведены данные о количестве негосударственных высших учебных заведениях в 1991-1995 годах:

	1991	1992	1993	1994	1995
Число негосударственных вузов	5	10	50	120	180

Определите среднегодовой коэффициент роста количества негосударственных высших учебных заведений в 1992-1995 годах. Решение:

Рассчитаем годовые коэффициенты роста в 1992-1995 годах: £]992 =10/5 = 2, jfc1W3 =50/10 = 5, km4 = 120/50 = 2,4, km2 = 180/120 = 1,5. Найдем среднегодовой коэффициент роста количества негосударственных высших учебных заведений:

ь *Пг 4/7. <. 7 4.1 с _ fZ ~ 9 4S

ЛІ995/І992 — V 1992 Л1993 Л|994 Л|995 ~\^ J ^'^ '>-" '

Отметим, что среднегодовой коэффициент роста можно было рассчитать «напрямую» по формуле: km}n992 = ^/у1995 1утх = \%/180/5 = \[б ~ 2,45. Ответ: примерно 2,45 раза.

При решении экономико-математических задач часто полезным оказывается использование правила мажорантности средних, в соответствии с которым для данной совокупности средняя геометрическая всегда не больше средней арифметической *reou < Зс ^ . Из этого соотношения можно, в частности, получить, что для любых а и Ь (при а > 0, b>0) a + b> 2\[ab (*).

Пример. Общие издержки (в долларах) предприятия по производству офисных кресел описываются функцией TC{Q) = Q1 + 200 + 100, где Q — выпуск кресел (штук). Определите минимальную себестоимость производства одного кресла.

Решение:

Себестоимость одного офисного кресла равна величине средних издержек предприятия, т.е. нам требуется найти минимум функции средних издержек.

Поскольку общие издержки предприятия описываются функцией TC(Q) = Q2 +200 + 100, то функция средних издержек предприятия имеет вид

{ ' Q Q

Из правила мажорантности средних и соотношения (*), получим, что

AC(Q) = Q+20+ ^^> 2 10— + 20>40, то есть минимальная себестоимость

производства одного офисного кресла составляет 40 долларов. Ответ: 40 долларов.

Книжный магазин «Книголюб» открыт 7 дней в неделю. Выручка магазина в марте составила 275,59 тысяч рублей. Определите среднюю ежедневную выручку магазина в этом месяце.

За одну неделю конференции стран-участниц ОПЕК в Вене члены российской делегации (всего 6 человек) потратили, соответственно, 12570, 12230, 12920, 12840, 12465 и 12515 евро. Рассчитайте, сколько налогоплательщикам в среднем стоила поездка одного представителя России на конференцию.

В областном центре выходит пять ежедневных газет, стоимость размещения одного рекламного объявления в которых составляет 200, 220, 180, 250 и 230 рублей. Алексей Андреев разместил платное объявление о продаже рояля во всех пяти изданиях. Сколько рублей в среднем стоила одна публикация?

На выходных семья Ивановых решила посетить на машине усадьбу Ясная Поляна. Определите транспортные издержки на поездку, если до поездки на спидометре было 28562 км, после поездки стало 29242 км, на 100 километров автомобиль расходует в среднем 6 литров бензина, а литр бензина стоит 15 рублей.

В ООО «Сотовик», общая численность работников которого составляет 25 человек, представлены пять категорий персонала: генеральный директор, бухгалтера (2 человека), менеджеры (6 человек), операторы по приему заказов (7 человек), курьеры (9 человек). Определите среднюю заработную плату сотрудника ООО «Сотовик», если известно, что оклад генерального директора составляет 17,8 тысяч рублей, бухгалтера— 15,1 тысяч рублей, менеджера — 12,5 тысячи рублей, оператора по приему заказов — 8,5 тысяч рублей, курьера — 5 тысяч рублей.

Обследование по уровню механизированности 100 сельскохозяйственных предприятий Краснодарского края выявило, что в 43 предприятиях имеется два трактора, в 32 предприятиях — три трактора, в 15 предприятиях — четыре трактора, на одном предприятии — восемь тракторов, а в 9 предприятиях тракторов нет. Каково среднее количество тракторов в обследованных сельскохозяйственных предприятиях?

Производственная деятельность компании «Остар» в январе-апреле 2005 года характеризовалась следующими показателя: в январе выпуск составил 200 единиц при себестоимости каждого изделия в $14, в феврале — 230 единиц при себестоимости изделия $9, в марте выпустили 150 изделий, затратив на каждое по $10. В апреле общие затраты составили $560, при этом было выпущено всего 80 изделий. Определите средние затраты на изготовление одного изделия за рассматриваемый период (январь — апрель 2005 года).

Из 100 сотрудников фирмы 30 человек — женщины, 70 человек — мужчины. При этом среди сотрудников фирмы 90\% женщин и только 60\% мужчин имеют высшее образование. Какой процент всех сотрудников фирмы имеет высшее образование?

В компании 30\% всех сотрудников составляют женщины. Определите долю сотрудниц с высшим образованием, если доля сотрудников с высшим образованием мужского пола равна 1/7, а среди всех сотрудников — 1/5.

Цех в целом увеличил за год выпуск продукции на 34\%, причем пятая часть рабочих цеха увеличила выпуск продукции на 50\%. На сколько процентов увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха?

У Ольги Горелкиной открыты два вклада (срочный и текущий). Сумма второго вклада на 3 тысячи рублей больше, чем первого. Ставка процента по первому вкладу равна — 10\% годовых, по второму — 40\% годовых. Определите, сколько всего денег разместила в банке Ольга Горелкина, если средний процент по двум вкладам равен 30\%.

Фирма, занимающаяся записью фильмов на DVD-диски, закупает «болванки» у двух поставщиков: 20\% у первого, а остальную часть — у второго. При этом в среднем 10\% болванок, получаемых от первого поставщика, являются бракованными, тогда как у второго брак составляет только 5\%. Служба технологического контроля может выявить брак только после записи фильма на DVD-диск. Каков в среднем процент дефектной продукции во всей продукции фирмы?

В поселке «Новый путь» проживает 210 человек, 40\% из которых являются мужчинами. Известно, что 56 жителей поселка мужского пола имеют доходы выше прожиточного минимума, а процент лиц с доходами ниже прожиточного минимума не зависит от пола. Определите, сколько жительниц поселка имеет доходы ниже прожиточного минимума.

В ноябре в банке «Первый федеральный» счета открыли 1500 новых вкладчиков на общую сумму в 7 млн. 800 тыс. руб., при этом средний размер вклада, составлявший до этого 6 тыс. руб., уменьшился на 10\%. Определите, сколько вкладчиков было в банке на начало октября при условии, что никто из старых вкладчиков не закрыл свой вклад в банке в течение ноября.

Из общего количества товара а\% его было продано с прибылью в р\%, из оставшейся части Ь\% его было продано с прибылью в q\%. С какой прибылью следует продавать оставшуюся часть товара, чтобы общий процент прибыли составлял г\%?

В начале 1995 года численность работников ОАО «Звезда» составляла 40\% от численности сотрудников ГУП «Звездный». К началу 1996 года руководство ГУП «Звездный» сократило 50\% персонала, тогда как общая численность персонала на двух предприятиях сократилась на 10\%. Определите, как изменилась численность работников компании «Звезда».

Затраты малого предприятия «Иванов и партнеры» в 2004 году состояли из расходов на сырье и на оплату труда в пропорции 3 : 4. В конце 2004 года на предприятии была проведена модернизация, в результате которой в 2005 году при прежней себестоимости сырья с внедрением новой технологии расходы на сырье уменьшились на 20\%, а оплата одного часа рабочего времени возросла на 15\%. Как изменились расходы предприятия на изготовление одной единицы продукции в 2005 году по сравнению с 2004 годом?

Услугами компании сотовой связи пользуются два типа абонентов — «контрактники» и pre-paid абоненты. Число pre-paid абонентов на 150\% больше, а средний показатель дохода с одного абонента (ARPU) на 70\% меньше чем у «контрактников». Определите, на сколько процентов ARPU pre-paid абонентов ниже, чем ARPU всех клиентов компании в целом.

Фирмы «УМЦ» и «ОТЦ» эксплуатируют два вида копировальных аппаратов: Canon и Minolta. На фирме «УМЦ» работают четыре копировальных аппарата Canon и два копировальных аппарата Minolta. На фирме «ОТЦ» — один копировальный аппарат Canon и два копировальных аппарата Minolta. Средняя производительность копировального аппарата на фирме «УМЦ» на 20\% меньше средней производительности на фирме «ОТЦ». На сколько процентов производительность копировального аппарата Canon ниже производительности копировального аппарата Minolta?

По данным социологического опроса жителей города Урюпинска, 47,7\% всех жителей считают, что их благосостояние в текущем году улучшилось, 15,1\% — ухудшилось, а оставшиеся — что не изменилось. Аналогичная статистика для жителей города мужского пола такова: 33\%, 20\% и 47\%. Какой процент жительниц города Урюпинска полагает, что их благосостояние в текущем году ухудшилось, если 63\% из них считают, что их благосостояние в текущем году выросло?

В городской думе города Бобруйска 60\% всех депутатов считают секвестр полезной мерой для экономики, 30\%) — вредной, а остальные стесняются произносить это слово вслух. В то же время остальные взрослые жители города Бобруйска (не являющиеся депутатами) имеют другое мнение: лишь 10\% из них считают секвестр полезной мерой для экономики, 20\% — вредной, а остальные думают, что секвестр — это садовые ножницы. Какой процент всех взрослых бобруйчан считает секвестрполезной мерой для экономики города, если вредным его считают 20,01\% из них?

На предприятии работают специалисты трех категорий: инженеры, управленцы и рабочие. На каждых трех рабочих приходится два инженера, а на каждых трех инженеров приходится четыре управленца. Средняя зарплата управленца составляет 13,2 тыс. рублей, рабочего — 7,5 тыс. рублей, а средняя зарплата на предприятии — 8,7 тыс. рублей. Какова средняя зарплата инженера?

Компания владеет двумя обувными фабриками. Первая выпускает 25\% обуви со знаком качества, вторая — 55\%. Известно, что обувь со знаком качества составляет 40,6\%) от их общей продукции. Определите, сколько пар обуви в день выпускает вторая фабрика, если первая выпускает в день 12000 пар.

Из молока, жирность которого 5\%, молокозавод производит творог жирностью 15,5\%), при этом остается сыворотка жирностью 0,5\%. Определите, прибыль молокозавода от переработки одной тонны молока, если тонна молока обходится в 8000 рублей, а творог реализуется по 39 рублей за килограмм.

Брокерская фирма приобрела два пакета акций, а затем их продала на общую сумму 1 миллионов 680 тысяч рублей, получив при этом 28\%) прибыли. За какую сумму фирма приобрела каждый из пакетов акций, если при продаже первого пакета прибыль составила 40\%), а при продаже второго — 20\%?

Антикварный магазин приобрел два предмета, а затем продал их на общую сумму 39900 рублей, при этом прибыль магазина составила 40\%. За сколько магазин купил каждый предмет, если при продаже первого прибыль составила 30\%, а при продаже второго — 55\%?

В магазине одежды проводилась распродажа. Костюмы продавались со скидкой 20\%), плащи — со скидкой 40\%. Покупатель купил костюм и плащ за 9180 рублей, заплатив на 32\% меньше их суммарной первоначальной цены. Найдите первоначальные цены костюма и плаща.

Вследствие неблагоприятных погодных условий план сбора свеклы на первом поле был недовыполнен на 20\%, а на втором — на 15\%. При этом общий урожай с двух полей составил 328 тонн свеклы, что составляет 82\% общего плана. Определите первоначальный план сбора свеклы с каждого поля.

Средний процент прибыли от продажи партии чайников в трех магазинах составил 25,4\%. Известно, что через первый магазин было продано 40\% партии, через второй — 60\% от оставшейся части партии. С какой прибылью были проданы чайники через третий магазин, если прибыль от продажи в первом магазине составила 35\%, а во втором магазине — 25\%.

Фабрика, выпускающая евровагонку, получает древесину от двух леспромхозов: Верхнего и Нижнего. В 2003 году объемы, получаемой от них древесины, соотносились как 3 : 2, а цена одного кубометра древесины у Верхнего леспромхоза была на 20\% выше, чем у Нижнего. В 2004 году каждый леспромхоз поднял отпускные цены на 20\%, но по разным причинам соотношение закупок стало 5:1. Как изменилась средняя стоимость одного кубометра древесины, закупаемого фабрикой, в 2004 году по сравнению с 2003 годом, если общий объем закупок древесины фабрикой вырос на 30\%?

На факультете дополнительного образования функционируют две программы повышения квалификации: «профессиональный управленец» и «антикризисный менеджер». В 2003 году численности обучающихся на этих программах соотносились как 2:3, соответственно, при этом цена обучения на программе «профессиональный управленец» составляла $1500, тогда как на программе «антикризисный менеджер» — $2000. В 2004 году факультет поднял цену обучения на каждой программе на $500, при этом число слушателей программы «антикризисный менеджер» сравнялось с числом слушателей программы «профессиональный управленец». Как изменилась средняя стоимость обучения на факультете дополнительного образования в 2004 году по сравнению с 2003 годом, если общая численность учащихся по разным причинам снизилась на 15\%).

В 2004 году объем производства на молокозаводе увеличился на 20\%, а в 2005 году вырос еще на 87,5\%. Определите среднегодовой процент прироста выпуска на молокозаводе в 2004—2005 годах.

233. Объем производства на предприятии за первый год вырос на 8\%, а за второй — еще на 47\%. Чему равен средний годовой прирост продукции за два года?

Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 5\%, а на следующий год увеличилась еще на 20\%). Определите средний ежегодный прирост выпуска продукции за этот период.

Эффективная маркетинговая политика позволила фирме за два года работы добиться девятикратного увеличения товарооборота, причем ежегодный процент прироста товарооборота оставался одним и тем же. Определите, на сколько процентов увеличивались продажи в каждый из прошедших лет?

2.1. В 2000 году затраты компании на производство состояли из постоянных и

переменных издержек в пропорции 2 : 7. В 2001 году рост постоянных расходов составил 26\%, а переменных — 53\%. На сколько процентов увеличились

затраты компании на производство продукции?

38

43

47

51

56

2.2. В 2001 году объемы производства на двух заводах компании распределялись в соотношении 3 : 5 между первым и вторым заводом. В 2002 году объем на первом заводе вырос на 30\%, тогда как объем производства на втором

заводе сократился на 10\%. На сколько процентов изменился объем производства в компании в целом?

8

12

10

20

5

2.3. В мае затраты на производство состояли из расходов на сырье и на оплату

труда в пропорции 7 : 4. В июне при прежней технологии расходы на одну

тонну сырья выросли на 43\%, а оплата одного часа рабочего времени уменьшилась на 12\%). На сколько процентов увеличились затраты на изготовление

одной единицы продукции?

17

19

21

23

25

2.4. Инвестиционная компания управляет двумя паевыми инвестиционными

фондами: «Илья Муромец» и «Алеша Попович». В 2003 году активы, находящиеся под управлением фонда «Алеша Попович», составляли 60\% от всех

активов, находящихся под управлением компании. В 2004 году величина активов фонда «Илья Муромец» увеличилась на 13\%, а всех активов, находящихся под управлением компании, — на 19\%. На сколько процентов

увеличилась величина активов, находящихся под управлением фонда «Алеша

Попович»?

23

25

27

29

31

2.5. На автобазе 2/3 машин — легковые, а остальные — грузовые. Доля исправных машин на автобазе равна 3/4, а доля исправных машин среди грузовых

равна 1/2. Тогда доля исправных машин среди легковых составляет7/12

7/8

1/2

3/8

5/6

2.6. Среди работников компании «1С» по образованию 5/8 — экономисты, а остальные — программисты. Доля кандидатов наук среди программистов равна

2/3, а среди всех работников — равна 3/4. Тогда доля кандидатов наук среди

экономистов равна:

3/4

4/5

5/8

1/2

2/3

2.7. В марте выручка магазина складывалась из выручек двух секций в соотношении 4 : 1. В апреле выручка первой секции выросла на 20\%, а выручка

второй секции выросла на 40\%. На сколько процентов выросла выручка магазина?

30

28

26

24

22

2.8. Средняя зарплата преподавателей вузов города Эмска месяц равнялась

7300 рублей, а остальных преподавателей — 5300 рублей. Средняя зарплата

всех преподавателей города составляла 5980 рублей. Какой процент от числа

всех преподавателей города составляли преподаватели вузов?

72

66

42

54

34

2.9. Средняя зарплата учителей лицей города Энска за месяц равнялась 5100

рублей, а остальных учителей — 4600 рублей. Средняя зарплата всех учителей города составляла 4760 рублей. Какой процент от числа всех учителей

города составляли учителя лицеев?

65

52

48

40

32

2.10. Компания застраховала перевозимый опасный груз на различные суммы в

двух страховых обществах, плата за страховку (страховая премия) в которых

составила 4\% и 5\% от страховой суммы соответственно. Суммарная страховая

сумма составила 1 млн. долл., а суммарная плата за страховку — 46000 долл.

На какую сумму застрахован груз в обществе со страховой премией в 5\%?

400 тыс. долл.

460 тыс. долл.

600 тыс. долл.

46 тыс. долл.

нельзя определить

2.11. На предприятии работают специалисты трех категорий: инженеры, управленцы и рабочие. На каждых четырех рабочих приходится три инженера, а на

каждых двух инженеров приходится три управленца. Средняя зарплата

управленца составляет 4,2 млн. рублей, рабочего — 3,1 млн. рублей, а средняя зарплата на предприятии — 3,4 млн. рублей. Какова средняя зарплата

инженера (в млн. рублей):

2,1

2,3

2,6

2,9

3,2

2.12. Фирмы «УМЦ» и «Мария» эксплуатируют два вида копировальных аппаратов: Canon и Minolta. На фирме «УМЦ» работают четыре копировальных

аппарата Canon и один копировальный аппарат Minolta. На фирме «Мария»

— один копировальный аппарат Canon и три копировальных аппарата

Minolta. Производительность копировального аппарата Canon на 40\% ниже

производительности копировального аппарата Minolta. На сколько процентов

средняя производительность копировального аппарата на фирме «УМЦ»

меньше, чем средняя производительность на фирме «Мария» (выберите наиболее точный вариант).

25

21

15

11

6

2.13. В цеху имеются две поточные линии. На первой суммарно за июнь и июль

было изготовлено такое же количество изделий, что и на второй. При этом выработка на первой линии в июне была на 36\% больше, чем на второй. В июле

выработкой на первой линии сократилась на 25\% по сравнению с июнем. Как

изменилась в июле выработка второй линии по сравнению с июнем:

увеличилась на 47\%

уменьшилась на 16\%

уменьшилась на 20\%

невозможно определить

увеличилась на 38\%

2.14. В начале 1998 г. ежемесячный доход семьи студентов МГУ складывался

из стипендии и оплаты труда в свободное от учебы время, при этом стипендия обеспечивала 20\% дохода семьи. В конце 1998 г. в результате кризиса

доход семьи уменьшился на 60\% при том же абсолютном размере стипендии.

На сколько процентов уменьшилась оплата труда и как изменился ее удельный вес в доходе семьи, если студенты не имели других источников дохода?

оплата труда уменьшилась на 75\%, ее удельный вес в доходе уменьшился на 60\%

оплата труда уменьшилась на 60\%, ее удельный вес в доходе уменьшился на 60\%

оплата труда уменьшилась на 60\%, ее удельный вес в доходе не изменился

оплата труда уменьшилась на 75\%, ее удельный вес в доходе уменьшился на 37,5\%

оплата труда уменьшилась на 60\%, ее удельный вес в доходе уменьшился на 37,5\%

2.15. В 1999 г. доход семьи студентов МГУ был полностью истрачен на потребительские расходы: обязательные и произвольные. При этом обязательные

расходы составляли 75\% от дохода семьи. В 2000 г. доход семьи должен увеличиться на 20\% при сохранении абсолютного размера обязательных расходов. На сколько процентов увеличатся произвольные расходы и как

изменится их удельный вес в расходах семьи, если студенты предполагают

по-прежнему тратить весь свой доход только на потребительские расходы?

произвольные расходы возрастут на 20\%, их удельный вес не изменится

произвольные расходы возрастут на 20\%, их удельный вес возрастет на 20\%

произвольные расходы возрастут на 20\%, их удельный вес возрастет на 50\%

произвольные расходы возрастут на 80\%, их удельный вес возрастет на 50\%

произвольные расходы возрастут на 80\%, их удельный вес возрастет на 20\%

2.16. В 2000 году налоги с физических лиц составили восьмую часть налоговых

поступлений в бюджет города. Предполагается, что после реформы 2001 года

сумма налога с физических лиц возрастет и составит пятую часть налоговых

поступлений. На сколько процентов должна увеличиться общая сумма налога

с физических лиц, если сумма других налоговых поступлений останется без

изменения?

100\%.

75\%

160\%

175\%

60\%)

2.17. В состав портфеля ценных бумаг господина Гаврикова входит пакет акций

завода «Рассвет». В начале 2000 г. стоимость этого пакета составляла 25\% от

стоимости всего портфеля. К концу 2003 г. стоимость всего портфеля выросла на 140\%. На сколько процентов за это время выросла стоимость пакета акций завода «Рассвет», если стоимость остальных ценных бумаг выросла в

среднем на 20\%>?

500

40

50

60

600

2.18. В 2004 году студенты, обучавшиеся в институте, распределялись

по направлениям «Экономика» и «Менеджмент» в отношении 3 : 5. В 2005 г.

число студентов на направлении «Экономика» выросло на 30\%, а число студентов на направлении «Менеджмент» уменьшилось на 10\%. На сколько

процентов увеличилось общее число студентов, обучающихся в институте?

5

8

10

12

20

2.19. В январе 2004 года инвестор приобрел паи в инвестиционных фондах

«Федеральный», «Региональный» и «Муниципальный» на сумму x,ynz рублей. По итогам 2004 года доходность вложений в инвестиционные фонды составила, соответственно, 20\%>, 40\% и 60\%. Какое соотношение должно быть

обязательно выполнено, если известно, что средняя доходность инвестиций

в указанные три фонда составила 45\%?

х Z+£=x±Z±z К ' 2 4 6 4,5

(2)^ + .''4 • 1>6145

х у z x+y+z

2x + 4y + 6z = 4,5(x +y + z)

2x + 4„v + 6z = 4,5

(5) Ь2+И + М = 1,45

x у z

2.20. На фирме работают три категории сотрудников, количество к, 1 и т человек соответственно. В 2005 году средняя заработная плата сотрудников каждой из трех категорий составляла 23 тысяч, 15 тысяч и 18 тысяч рублей в месяц соответственно. Какое соотношение должно быть обязательно выполнено, если известно, что средняя заработная плата одного сотрудника фирмы в целом равна 21 тысячи рублей:

k+l +	m
k+l +	m
21
k + l +	m
21

23 15 18 21

— + — + — * / т

,^ к 1 т

— + — + —

23 15 18

23 15 18 кіт

23/fc + 15/ + 18w = 21

23/fc + 15/ + 18m = 2l(& + / + m)

2.21. В Лесном районе 25\% городских жителей и 75\% сельских, а в Приморском — наоборот, 75\% городских и 25\% сельских. Средний месячный доход

городского жителя в Приморском районе вдвое выше, чем сельского. Средний месячный доход городского жителя Лесного района на 20\%, а сельского

— на 10\% выше, чем в Приморском. Как соотносятся средние (по району

в целом) месячные доходы жителей двух районов?

в Лесном примерно на 12\% ниже

в Лесном примерно на 12,5\% выше

в Лесном примерно на 18,5\% ниже

в Лесном примерно на 15\% ниже

в Лесном примерно на 17, 5\% выше

в Лесном примерно на 15\% выше

2.22. В ОКБ-1 работают 80\% инженеров и 20\% рабочих, а ОКБ-2 — наоборот,

20\%> инженеров и 80\%) рабочих. Средняя зарплата инженера ОКБ — 1 на 22\%

ниже, чем в ОКБ-2, а средняя зарплата по ОКБ-1 на 16 \% выше средней зарплаты по ОКБ-2 .Как соотносятся средние зарплаты рабочих в ОКБ-1 и ОКБ2, если в ОКБ-2 средняя зарплата инженера вдвое выше, чем рабочего? (Считается, что каждый работающий — либо инженер, либо рабочий.)

в ОКБ-1 на 38 \% выше, чем в ОКБ-2

в ОКБ-1 на 28 \% ниже, чем в ОКБ-2

в ОКБ-1 на 18 \% выше, чем ОКБ-2

в ОКБ-1 на 18 \% ниже, чем ОКБ-2

в ОКБ-1 на 12\% ниже, чем ОКБ-2

в ОКБ 1 на 6 \% выше, чем ОКБ 2

2.23. В автохозяйстве две автоколонны. Число автомобилей в первой из них на

90\% больше, а средняя грузоподъемность одного автомобиля первой автоколонны на 20\% меньше, чем во второй. На сколько процентов средняя грузоподъемность автомобиля в первой автоколонне меньше, чем по

автохозяйству в целом? Выберите наиболее точный ответ:

9\%

8\%

7\%

6\%

5\%

4\%

2.24. Господин Сидоров вложил 45\% своих средств в акции компании А, которые принесли прибыль 26\%> годовых, 25\% в акции компании В, которые принесли 80 рублей прибыли на каждую тысячу вложенных рублей за год, а

оставшиеся — в акции компании С с 11 \% годовой прибыли. Какой процент

прибыли получил за год господин Сидоров с вложенных средств?

11\%

13\%

15\%

17\%

19\%

21\%

2.25. На металлургический комбинат завозят уголь с двух месторождений: Западного и Восточного. В 1999 г. объемы угля, завозимого с них, относились

как 2 : 5, а цена одной тонны с Западного месторождения на 20\% ниже, чем с

Восточного. В 2000 г. цены на уголь с каждого из месторождений повысились на 10\%, но по разным причинам соотношение объемов стало 5 : 2. Как

изменилась средняя цена шестидесятитонного вагона завозимого на комбинат угля в 2000 г. по сравнению с 1999 г., если потребление угля на комбинате уменьшилось на 50\%? Выберите наиболее точный ответ:

снизилась почти на 10\%

снизилась почти на 6\%

практически не изменилась

повысилась почти на 10\%

повысилась примерно на 5\%

для ответа недостаточно данных

2.26. Акционерное общество «Русская звезда» производит цемент на головном

предприятии и филиалах. В 2000 году филиалами было произведено продукции вчетверо больше и по себестоимости в среднем на 30\%) за тонну дешевле,

чем головным предприятием. В 2001 году на головном предприятии были

введены новые мощности, в результате оно стало выпускать в 5 раз больше

цемента, чем прежде, производительность филиалов осталась прежней. Себестоимость единицы продукции сократилась на каждом предприятии на 5\%

процентов по сравнению с прошлогодним для этого предприятия уровнем.

Как изменилась средняя по акционерному обществу себестоимость одной

тонны цемента?

для ответа недостаточно данных

выросла примерно на 8\%

выросла примерно на 4\%>

практически не изменилась

сократилась примерно на 8\%

сократилась примерно на 4\%

2.27. В стране Анчурии среди работающих на каждых трех коренных жителей

приходится два иммигранта, а в Бачурии на каждые девять коренных жителей приходится один иммигрант. Средняя зарплата коренного жителя Анчурии в среднем в 2,5 раза выше зарплаты иммигранта. В Бачурии средняя

зарплата коренного жителя в среднем на 5\%, а средняя зарплата иммигранта

на 10\%) ниже, чем в Анчурии у соответствующей категории работающих. Как

соотносятся средние зарплаты в Анчурии и Бачурии? Выберите наиболее

точный ответ.

в Бачурии на 10\% выше

в Бачурии на 17\% выше

в Бачурии на 7\% выше

в Бачурии на 7\% ниже

в Бачурии на 18\% ниже

невозможно определить

2.28. Компания состоит из головного офиса и филиала. В 2000 году численность

работающих в филиале была втрое меньше, а средняя зарплата на 30\% ниже,

чем в головном офисе. В 2001 году в результате расширения численность персонала филиала выросла в 4 раза, а в головном офисе осталась той же. При

этом средняя зарплата сотрудников головного офиса выросла на 10\%, а в филиале на 5\%. Как изменилась средняя зарплата в компании в целом?

для ответа недостаточно данных

выросла примерно на 6\%

выросла примерно на 4\%

практически не изменилась

сократилась примерно на 6\%

сократилась примерно на 4\%

2.29. Компания состоит из головного офиса и филиала. В 2003 году численность

работающих в головном офисе была вдвое больше, а средняя зарплата на 50\%

выше, чем в филиале. В 2004 году в результате расширения численность персонала филиала выросла в 500\%, а в головном офисе выросла на 50\%. При

этом средняя зарплата сотрудников головного офиса выросла на 16\%, а средняя зарплата по компании в целом снизилась на 2,5\%. Как изменилась средняя

зарплата в филиале?

снизилась на 4\%

снизилась на 8\%

снизилась на 10\%

практически не изменилась

выросла на 8\%

выросла на 10\%

2.30. Средняя, минимальная и максимальная зарплаты по институту равны соответственно 5260 рублей, 1260 рублей и 8460 рублей. Какова максимально

возможная доля сотрудников с минимальной зарплатой?

4/9

2/7

3/7

5/9

4/7

5/8

2.31. Средняя, минимальная и максимальная зарплаты по институту равны соответственно 14640 рублей, 5040 рублей и 21840 рублей. Какова максимально возможная доля сотрудников с максимальной зарплатой?

4/9

4/7

5/9

7/9

3/7

5/8