2.2. коэффициенты полных материальных затрат

2.2. коэффициенты полных материальных затрат

Системы уравнений (2.5) и (2.7) называются экономико-математической моделью межотраслевого баланса Леонтьева или моделью «затраты-выпуск». С помощью этой модели можно определить, например, объем продукции конечного использования каждой отрасли yt , задав коэффициенты прямых материальных затрат

ctj и величины валовой продукции каждой отрасли

x

по форму-

ле

Y = (E A)X, где Е — единичная матрица размерности n х n .

(2.8)

(10 0 0^ 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1

Уравнение (2.8) совпадает с уравнением (1.4), так как

Е-А = А.

Если известны объем продукции конечного использования каждой отрасли yi и коэффициенты прямых материальных затрат ,

то можно определить величины валовой продукции каждой области

x

из соотношений

(2.9)

X = (E A) Y, где (E A) 1 — матрица, обратная матрице (E A).

Если обратную матрицу обозначить через В = (E A) 1 = (btj),

система уравнений запишется в виде:

X = B ■ Y.

(2.10)

Систему уравнений (2.10) в матричной форме можно шредста-вить в виде обычной системы уравнений:

xi = £ bijyj.

Перешгшем систему (2.11) в развернутом виде:

x1 = b11y1 + b12y2 + ... + b1nyn / x2 = b21y1 + b22y2 + ... + b2nyn,

xn = bn1y1 + bn2 y2 + ... + bnnyn

(2.11)

(2.12)

Коэффициента: bij называются коэффициентами шолных материальных затрат. Для уяснения их экономического смысла шоло-жим, что осуществляется вышуск конечной шродукции лишь одной j-й отрасли. Если это, нашример, шервая отрасль, то вышуск конечной шродукции этой отрасли равен y1, а y2 = y3 = ... = yn = 0. Тогда (2.12) шринимает вид:

f x1

і x2

ьиуъ

xn

bn1 y1.

Отсюда следует, что для того, чтобы обесшечить конечную шро-дукцию в объеме y1, необходимо обесшечить валовой вышуск шродукции всех отраслей соответственно в объеме b11, b21,bn1. Таким образом, элементы шервого столбца матрицы В шоказывают количество валовой шродукции отраслей, необходимое для шроизводства единицы шродукции конечного исшользования шервой отрасли. Точно так же элементы j-го столбца матрицы B шоказывают количество валовой шродукции отраслей, необходимое для шроизвод-ства единицы шродукции конечного исшользования j-й отрасли.

> Пример 2.1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов шрямых материальных затрат и вектор конечной шродукции:

а

(0,1 0,2 0,3^ 0,2 0,3 0,4 0,3 0,2 0,1

(300^

400

500

Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, заполнить схему межотраслевого материального баланса.

Решение. Матрица полных материальных затрат вычисляется по формуле

вНайдем

е а:

( 0,9 0,2 0,3

-0,2 0,7 -0,2

-0,3 А -0,4

0,9

Определим обратную матрицу (E А) . Для этих целей можно использовать, например, метод Гаусса или воспользоваться услугами компьютерной программы Excel. Обратная матрица имеет вид:

(1,528 0,667 0,806А

0,833 2 1,167 0,694 0,667 1,639

Величины валовой продукции трех отраслей определим по формуле (2.9):

(1,528 0,667 0,806А (300А (1127,88А

X = (E А) 1 Y :

0,833 2 1,167 0,694 0,667 1,639

400

500

1633,33 1294, 44

Эти значения валового выпуска по отраслям-производителям представлены в последнем столбце и последней строке табл. 2.2.

Соотношение для расчета величин межотраслевых шотоков шро-дукции рассчитывается шо формуле (см. (2.4))

Нашример, = 0,1'1127,78 = 112,778 ,

x12 = a12 ' x2 = 0,2 '1633,33 = 326,666 и т.д.

Промежуточное шотребление находят как сумму шотребления отраслями. Слагаемые этой суммы шредставлены в строках таблицы. Промежуточные затраты находят как сумму затрат. Слагаемые этой суммы шредставлены в столбцах таблицы. Эти две суммы равны друг другу.

Валовую добавленную стоимость ошределяют как разность между валовым вышуском и шромежуточными затратами. В квадранте IV табл. 2.2 шриведено значение, шоказывающее, что сумма элементов квадранта III совладает с суммой элементов квадранта II. ◄