3.2. свойства макроэкономической производственной функции

3.2. свойства макроэкономической производственной функции

Свойства производственных функций вытекают из естественных требований к современному производству. Рассмотрим основные свойства.

Производство невозможно, если отсутствует хотя бы один из ресурсов K или L , т.е. если в производственную функцию вместо одного из ресурсов подставить ноль, то функция будет равна нулю:

F (0, L) = F (K, 0) = 0.

При увеличении роста любого из ресурсов выпуск растет. А это значит, что если первая частная производная функции в области ее определения по любому из ресурсов больше нуля, то функция растет:

— > 0; — > 0.

dK dL

При увеличении роста любого из ресурсов скорость роста выпуска замедляется. А это значит, что если вторая частная производная функции в области ее определения по любому из ресурсов меньше нуля, то рост функции замедляется:

^ < 0; ^ < 0 .

Производственный выпуск неограниченно растет при неограниченном увеличении одного из ресурсов, т.е. если один из аргументов стремится к бесконечности, то к бесконечности стремится производственная функция:

F (+оо, L) = +»; F (К, +со) = +со .

3.3. Мультипликативная макроэкономическая производственная функция

Для решения и анализа задач экономики часто используют мультипликативную (от лат. — умножаю, увеличиваю) производственную функцию. Мультипликативная функция имеет вид:

Y = AKa'L"2 ,

где А — коэффициент технического прогресса; ax и a2 — показатели степени.

Позже покажем, что эти показатели являются эластичностями по труду и фондам.

Частным случаем мультипликативной производственной функции является функция Кобба—Дугласа, у которой aj = а и

a2 = 1 -а .

Таким образом, функция Кобба—Дугласа может быть записана следующим образом:

Y = AK aL1-a , (3.1) где А > 0 ; 0 <а<1; K > 0 ; L > 0 .

Проведем анализ функции Кобба—Дугласа (3.1) на предмет ее соответствия свойствам, приведенным в § 3.2.

Положив в производственной функции K = 0 или L = 0 , видим, что исследуемая производственная функция равна нулю, т.е. выполняется свойство 1, утверждающее, что при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно.

Найдем выражение для первой частной производной производственной функции по капиталу:

д— = A-а-K a-1L1-a = А ^ K а Ll-a =а—. dK KK

Найдем выражение для первой частной производной производственной функции по труду:

— = А .(1 -a)-Kа L-a = А <J-а>'K а L'-" =(1-а)—.

Поскольку первые частные производные положительны, то исследуемая функция возрастающая, т.е. выполняется свойство 2.

Найдем выражение для второй частной производной производственной функции по капиталу:

= A -a-(a -l)Kaa-2 L1-a = і 2 =

YY = a(a1)~K2 = M(-a)K2 •

Найдем выражение для второй частной производной производственной функции по труду:

d2Y ч a a 1 A-a-(1-a)-K aL1-a 4Y

dL2 y ' LL v 'L2

Так как вторые частные производные отрицательны, то с ростом ресурсов скорость роста выпуска замедляется. Следовательно, выполняется свойство 3.

При неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет, так как выполняется условие:

lim AK aL1-a = oo; lim AK aL1-a = oo. Таким образом, выполняется свойство 4.

Приравнивая первые производные от производственной функции нулю и решая эти уравнения, получим решения L = 0 и K = 0 . В этих точках функция обращается в ноль. Других корней эти уравнения не имеют. Поэтому максимума для всех точек (K, L), для

которых исследуемая функция определена, у нее нет.

Одним из методов исследования функции нескольких переменных является определение линий уровня. Линией уровня функции Y = F (K, L) называется множество всех точек (x, y), в которых функция принимает постоянное значение В . Для мультипликативной производственной функции уравнение для линий уровня имеет вид:

В = AK"1 L"2, где В — постоянная величина.

Из этого соотношения можно найти формулу для связи капитала и труда:

Kai= В^. (3.2)

Получили уравнение для степенной гиперболы.

Если, например, aj = a2 = a = 0,5 , то В = АК0,5L0,5, или

2 2 В2

В = А ■ К ■ L , или —= К ■ L. Отсюда следует, что линиями уровней

А2

будут равнобочные гиперболы:

К = Ш-.

L

> Пример 3.2. Показать, что функция Кобба—Дугласа (3.1) является однородной первой степени.

Решение. Напомним, что функция f (x, y) называется однородной, если выполняется условие f (Xx, Xy) = Xf (x, y) . Для

функции Кобба—Дугласа можно записать

= АХаКaXJ~aLJ~a = АХКaLJ~a. Отсюда видно, что функция Кобба—Дугласа является однородной первой степени. ◄

Экономический смысл однородности производственной функции состоит в том, что при увеличении ресурсов в X раз выпуск также увеличивается в X раз.