3.4. построение производственной функции

3.4. построение производственной функции

Построить производственную функцию для исследуемой экономики можно, используя статистические данные основных показателей этой экономики. Общий заданный период времени обозначим Т. Этот период состоит из Т элементарных периодов, номер которых будем обозначать t. Мультипликативная производственная функция для конкретной экономики для длины временного ряда Т определяется выпуском и затратами ресурсов для заданных моментов времени этого ряда t. Значения t изменяются от 1 до Т .

Для рассматриваемого случая составляется Т уравнений вида [2]:

Yt = 5t• A• K?1 • Lat2 ,

где 5t — корректировочный случайный коэффициент, который отражает флюктуацию результата под воздействием случайных факторов. Его математическое ожидание равно единице.

Прологарифмировав каждое из полученных уравнений, найдем

ln Yt = ln 5t + ln A + a1 ln Kt + a2 ln Lt.

Здесь математическое ожидание случайной величины є t = ln 51 равно нулю. Получили модель линейной множественной регрессии. Показатели Kt и Lt за различные периоды t известны из статистической отчетности. Параметры A , a-, a2 могут быть определены по методу наименьших квадратов. После проведения соответствующих вычислений получают параметры производственной функции конкретной экономики.

В работе [3] этот метод был использован для расчета параметров производственной функции Российской Федерации с 1960 по 1991 г. При этом использовалась трехсекторная модель экономики. Эти секторы были названы нулевым сектором, первым сектором и вторым сектором.

Нулевой сектор — материальный сектор, или сектор производственных материальных затрат, куда относились предметы труда, а именно топливо, электроэнергия, сырье и другие материалы.

Первый сектор — фондосоздающий сектор, куда относились средства труда, а именно производственные здания, сооружения, машины, оборудование.

Второй сектор — потребительский сектор, куда относились предметы непроизводственного потребления.

В [3] приведены следующие производственные функции Кобба— Дугласа для трех секторов (индексом обозначен номер сектора):

Y0 = 6,19 • K00-46 • L°0-54,

(3.3)

Y2 = 2,71 • K20,49 • L0/1.

Заметим, что для показателей степени выполняются соотношения a0 <a1, a0 <a2. (3.4)

3.5. Основные характеристики макроэкономической производственной функции

Найдем эластичности мультипликативной производственной функции Y = AKa'L"2 . Известно, что эластичность выпуска по основным фондам определяется по формуле

EK (Y) = = Aa1K 1 L 2 — = a1 = a1.

Таким образом, показатель степени a1 является эластичностью выпуска по основным фондам. Аналогично, показатель степени a2 — эластичность выпуска по труду, т.е.

E. (Y> = —L = Aa2Ka1 La2-1L = a2 YLl = a2.

L w dLY 2 Y 2 LY

Рассмотрим производственные функции (3.3) с точки зрения эластичности. Эластичность показывает, на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на 1\%. В сырьевой отрасли, показатели которой имеют индекс 0, эластичность выпуска по основным фондам а0 = 0,46 . Это значит, что при увеличении

основных фондов этой отрасли на 1\% выпуск этой отрасли изменится на 0,46\%. Соответственно в фондосоздающем секторе при изменении основных фондов на 1\% выпуск изменится на 0,68\%, а в потребительском секторе — на 0,49\%. Полученные соотношения, связанные с превышением эластичности обрабатывающих отраслей по сравнению с эластичностью сырьевой отрасли, характерны также для других стран. Поэтому относительный прирост основных фондов в обрабатывающих отраслях приводит к большему выпуску по сравнению с сырьевыми отраслями. Это говорит о том, что выгоднее развивать обрабатывающие отрасли, а не сырьевые. Это особенно проявляется в условиях глобализации. В частности, по этой причине России необходимо переходить к развитию и внедрению новых передовых технологий по качественной переработке сырья и выпуску новых товаров.

При a1 > a2 имеет место трудосберегающий (интенсивный)

рост, при a1 < a2 — фондосберегающий (экстенсивный) рост.

При a1 + a2 > 1 мультипликативная производственная функция

описывает растущую экономику.

Действительно, разделим выпуск в году под номером t + 1, равный Yt+1 = А ■ К+ 1 ■ , на выпуск в году под номером t, равный

Yt = А ■ К?1 ■ Lat 2 . В результате получим темп роста выпуска, который определяется соотношением

Y +

К,

у

L

a2

Возведем правую и левую части этого соотношения в степень

1

2

В результате получим формулу

a1 + a

Ґ Y ^ a, +a2

t+i

у ( l ^-a

+1

(3.5)

где a

1

a1 + a

2

1 a = 1

1

a1+a

2

"•2

a1+a

2

Эти величины называются

относительными эластичностями.

Величина, представленная формулой (3.5), называется средневзвешенным геометрическим темпом роста затрат капитала и труда с весами a и 1 a . Покажем, что темп роста выпуска больше, чем средневзвешенный темп роста факторов при выполнении условия a1 + a2 > 1.

Как следует из второго свойства производственных функций,

если факторы растут, т.е.

К+1

>1 и

Lt+1

> 1 , то растет и выпуск,

т.е. Yt+1 > Yt. Если a1 + a2 > 1, то можно записать неравенство

Y

+1

+112

и

Y

+1

К,

+1

у ( _ ^-a

t+1

Y

Y

Y

Lt

Из последнего соотношения следует, что темп роста выпуска при a +a2> больше, чем средний темп роста факторов, что и требовалось доказать.

Производственная функция характеризуется следующими понятиями:

отношение выпуска к труду называется производительностью, или эффективностью, труда;

отношение труда к выпуску называется трудоемкостью;

— — отношение выпуска к капиталу называется капиталоотдаK

Y

K

L

dY_

dL

dY dK

чей, или фондоотдачей (производительностью, или эффективностью, капитала или фондов);

отношение капитала к выпуску называется капиталоемкостью, или фондоемкостью;

отношение капитала к труду называется капиталовооруженностью, или фондовооруженностью, труда; первая производная выпуска по труду называется предельной производительностью труда;

первая производная выпуска по капиталу называется

предельной капиталоотдачей, или предельной фондоотдачей.

а труд

в млрд человек .

Рассмотрим размерности некоторых приведенных показателей. Например, производительностью называют отношение выпуска к

млрд руб.

труду. Выпуск измеряется в

год

Поэтому размерностью производительности является отношение

человек год

Фондоотдача — это отношение выпуска к капиталу. Размерность выпуска только что рассмотрена, а размерность капитала —

млрд руб. Поэтому размерностью фондоотдачи является -1— .

год

руб.

Разделим правую и левую части функции Кобба—Дугласа на величину труда L . В результате получим

Y = AK aГа= А ^Kj = AK a ,

~ Y ~ K

где Y = j — производительность, или эффективность, труда; K = —

фондовооруженность труда.

Таким образом, получили другой вид производственной функции: производительность труда от одной переменной, а именно от фондовооруженности труда.