3.6. изокванты и изоклинали

3.6. изокванты и изоклинали

Изоквантой называется линия уровня в системе координат L0K. Функция изокванты определяется уравнением F (K, L ) = В = const.

Для мультипликативной производственной функции это уравнение (3.2).

На изокванте выпуск равен одному и тому же значению при различных значениях капитала K и труда L . Отсюда следует возможность взаимозаменяемости ресурсов.

Так как на изокванте F (K, L) = В = const, то дифференциал dF при перемещении по этой изокванте равен нулю, т.е.

dF dF dF =— dK + — dL = 0.

dK dL

Так как по второму свойству производственной функции — > 0; — > 0,

dKdL

то дифференциалы dK и dL имеют разные знаки.

Предельной нормой замены труда капиталом (фондами) SK называется общая производная от капитала по труду. Поскольку дифференциалы dK и dL имеют разные знаки, то эта производная отрицательная. Поэтому для удобства перед этой производной пишут знак «—», т.е. так, как показано ниже,

SK -dK . (3.6)

K dL dF/dK

Аналогично находят предельную норму SL замены капитала

(фондов) трудом как общую производную от труда по капиталу со знаком «—»:

SL --ddL-dFIdK.. (3.7)

L

dK dFj dL

Из двух последних формул видно, что SKSL -1, т.е. произведение предельной нормы замены труда капиталом и предельной нормы замены капитала трудом равно единице.

Для мультипликативной производственной функции имеем следующие значения для предельной фондоотдачи и предельной производительности труда:

dF dAK-'is-j AKa-L2 - Y_ dF_ Y

■ Сіл — Сіл , — Cl~)

Ал • — C-fo .

dK dKlK 1K dL 2 L

Отсюда следует, что предельную норму SK замены труда капиталом и предельную норму S L замены капитала трудом находят по формулам

dF/ dL - . S dFj dK _ aLL_ K dF/ dK a1 L ' L ~~ dFj dL ~ a2 K '

> Пример 3.3. Для мультипликативной производственной функция Y AKaLa2 найти эластичности замещения фондов трудовыми ресурсами и трудовых ресурсов фондами. Решение. Эластичность замещения фондов трудовыми ресурсами находят по формуле

EL K jdK ■L.

LK ' dL K

С учетом (3.6) эту формулу можно записать в виде: dFj dL L - a2 K L a2

dFj dKK a1 L K

Эластичность замещения трудовых ресурсов фондами с учетом (3.7) определяется соотношением

К ( дК L ~ dF/dL ' L ~ a2 К L ~ a2

Знак «—» перед эластичностями означает, что функция К (L)

является убывающей. Например, для эластичности замещения фондов трудовыми ресурсами при возрастании трудовых ресурсов на 1\% фонды сократятся на — \%. Следует иметь в виду,

что выпуск при этом не изменяется. Л

Изоклиналью называется линия наибольшего роста производственной функции. Изоклиналь является линией, в каждой точке которой касательной является направление градиента функции Y = F (К, L). Градиентом функции является вектор, имеющий вид:

lr, dF grad F = — і + і ,

dL дК

где і и j екции градиента на эти оси.

dF dF

орты осей 0L и 0К соответственно; — и — проdL дK

Можно показать, что градиент ортогонален линиям уровня. Поэтому изоклинали ортогональны изоквантам. На рис. 3.2 показан график изоклинали и градиент функции Y = F (К, L).

0

Рис. 3.2. График изоклинали и градиент функции

Из геометрии этого графика следует соотношение

AK ^ 8F/ 8K AL ~ 8Fj 8L '

Переходя к дифференциалам и произведя необходимые преобразования, получим уравнение для изоклинали:

dK dL

8F/8K 8F/8L

Для мультипликативной производственной функции уравнение изоклинали имеет вид:

KdK LdL

aj a2

Решение этого дифференциального уравнения можно представить в виде:

— = — + С, (3.8)

aj a2

где С — постоянная интегрирования.

При прохождении изоклинали через любую точку с координатами (К0, L0) постоянная интегрирования определяется формулой

C = Ko _ lll

Подставив последнюю формулу в (3.8), получим выражение для функции изоклинали

K (e _L2)+K0 ■

Изоклиналь, проходящая через начало координат, определяется формулой

K = ,

aj

т.е. является прямой линией с тангенсом угла наклона, равным I— .

Пример графиков изоквант и изоклиналей показан на рис. 3.3.

K