4.2. модель фишера

4.2. модель фишера

По мнению американского экономиста И. Фишера (1867—1947), потребитель принимает потребительские решения исходя из своих настоящих доходов и доходов, которые он получит в будущем. Доход, который потребитель получает в молодости, обозначим Yi, а в

старости — Y2. Тогда для первого получим соотношение

Y = С + Si ,

где индексы при потребительских расходах С и величине сбережений S означают номер периода. Отсюда следуют формулы для потребления и накопления в первом периоде:

С1 = Yi Si; Si = Yi Ci.

Во втором периоде человек потребляет весь полученный в этом периоде доход Y2 , а также сбережения, сделанные им в первом периоде:

C2 = Y2 + Si • (i + г) = Y2 + (Yi Ci) • (i + г), (4.4)

где г — реальная эффективная (за несколько лет) процентная ставка наращения.

Заметим, что эта ставка отличается от обычной реальной годовой ставки, которая используется в финансовых расчетах. Для связи сложной реальной годовой процентной ставки наращения a и реальной эффективной процентной ставки наращения г можно использовать уравнение эквивалентности:

г = (i + a)n i , где n — срок наращения в годах.

ї> Пример 4.1. Срок наращения в годах — 30 лет, реальная безрисковая годовая процентная ставка наращения, очищенная от инфляции, равна 0,5\% годовых. Например, это средняя за 63 года доходность казначейского векселя США. Определить реальную эффективную процентную ставку наращения.

Решение. г = (i + 0,005)30 i = 0,i6i, или i6,i\% . 4

График зависимости С1 от С2 является прямой линией. Прямую линию можно провести по двум точкам, в которых эта линия пересекается с осями 0С1 и 0С2. С осью 0С1 координату точки пересечения можно найти из уравнения:

0 = Y2 +(Yi -Ci+ r).

l + r

Решая это уравнение относительно С1, найдем

+ Y.

Аналогично находим точку пересечения с осью 0С2:

C2 = Y2 + Yi .(l + r). Тангенс угла наклона прямой (4.4) с осью 0С1 равен:

dC2

dC1

С отрицательным направлением оси 0С этот тангенс равен

(( + r), т.е. будет положительной величиной.

График исследуемой прямой представлен на рис. 4.2. Эта прямая называется межвременным бюджетным ограничением потребителя.

Оптимальное сочетания потребления в молодости и в старости зависит от предпочтений потребителя, которые определяются его линией безразличия. Подробно линии безразличия рассмотрены в § 4.6. Линии безразличия в системе координат С10С2 выглядят

так же, как и линии безразличия, представленные на рис. 4.7, и обладают теми же свойствами. Каждая линия безразличия характеризует одинаковый уровень полезности потребляемых потребителем продуктов в молодости и в старости. Потребители стремятся достичь наиболее высокой кривой потребления. Однако их стремления ограничены межвременным бюджетным ограничением. Это отражено на рис. 4.3.

Точка касания О прямой межвременного бюджетного ограничения потребителя и одной из линий безразличия является точкой оптимального сочетания потребления в молодости и в старости. Координаты этой точки C1opt и C2opt являются оптимальным потреблением в первом и во втором периоде соответственно. Тот факт, что эта точка является оптимальной, будет доказан ниже.

Тангенс угла наклона касательной к линии безразличия с осью 0С1 в заданной точке называется предельной нормой замещения.

В оптимальной точке предельная норма замещения равна -(1 + r), так как касательной в этой точке является прямая межвременного бюджетного ограничения потребителя.

Изменение характеристик прямой межвременного бюджетного ограничения потребителя приведет к смещению оптимальной точки потребления в системе координат С10С2. Например, если доход

уменьшится, то прямая межвременного бюджетного ограничения потребителя сместится влево вниз, как показано на рис. 4.4. Видно, что и та и другая координата оптимальной точки потребления уменьшилась.

C2 'f

Другое возможное изменение характеристик прямой межвременного бюджетного ограничения потребителя состоит в изменении реальной эффективной процентной ставки наращения r. Например, если эта ставка увеличится, то угол наклона также увеличится. На рис. 4.5 показано смещение оптимальной точки потребления в системе координат С10С2 при увеличении реальной эффективной процентной ставки наращения.

Из геометрии рис. 4.5 видно, что в этом случае потребление в первом периоде уменьшилось, а во втором увеличилось. Этот результат объясняется тем, что при увеличении реальной эффективной процентной ставки наращения потребитель до наступления второго периода сможет за счет наращения накопить большую сумму.