4.7. оптимизация функции полезности
4.7. оптимизация функции полезности
Задачей потребительского выбора называется определение такого потребительского набора (x*, y *), который максимизирует его
функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Этот набор называют оптимальным для потребителя, или локальным рыночным равновесием потребителя.
Бюджетным ограничением называется денежная сумма (доход), предназначенная на покупку данного набора товаров. Бюджетное ограничение I и цены на первый товар p1 и второй товар p2 связаны соотношением p1x + p2y < I. При помощи математических символов задачу математического выбора можно записать в виде:
u (x,y ) — max
при условиях
P1x + Р2y < I, (4.7)
x > 0, y > 0.
Оптимальную точку потребительского набора (x*, y*j
называют
точкой спроса. Ясно, что координаты точки спроса зависят от цен и бюджетного ограничения I . Функция точки спроса от цен и бюджетного ограничения называется функцией спроса. Для потребительского набора из двух товаров функцией спроса является набор из двух функций:
х = х(p^ 1);
y* = y"(pb p2, 1).
 |
Основные свойства задачи потребительского выбора
Решение задачи (x*, y*) не изменится при любом монотонном преобразовании функции полезности и _ f (x, y) и при неизменном бюджетном ограничении. Монотонным преобразованием функции полезности может быть ее умножение на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы. При монотонном преобразовании функции полезности ее свойство 1 должно сохраняться, а свойства 2 и 3 могут теряться или приобретаться. То есть, если функция полезности в задаче потребительского выбора не обладает свойствами 2 и 3, она тем не менее может описывать реальное поведение потребителя.
Решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличатся (уменьшатся) в одно и то же число раз. Действительно, поскольку цены и доход не входят в функцию полезности, а умножение на положительное число правой и левой частей бюджетного ограничения p1x + p2y < I делает его эквивалентным исходному, то задача остается той же, что и первоначально.
При решении задачи математического выбора (4.7) бюджетное ограничение p1x + p2y ^ I будет выполняться в виде равенства
p1x + p2y = I. Это связано с тем, что значение функции полезности увеличивается при увеличении x и y (свойство 1 функции полезности), т.е. максимум лежит на крайних правых и верхних точках (см. рис. 4.8). Таким образом, задачу математического программирования можно заменить задачей на условный экстремум, т.е.
u (x, y) — max
при условиях
g (x, y) = pix + p2y -1 = 0, (4.8)
x > 0, y > 0,
где u (x, y) — целевая функция; g (x, y) = p1x + p2y -1 — функция связи.
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид:
L (x, y, X) = u (x, y ) + ^(pix + p2y -1) ,
где X — множитель Лагранжа.
Составляем систему линейных уравнений, для чего приравниваем нулю первые частные производные функции Лагранжа:
dL (x, y, X) du (x, y)
—V У ' =—K-^+ Xp1 =0;
dx dx
dL (x, y, X) du (x, y)
—-lZl—L = —L_iZZ + Xp2 = 0;
dydy
dX
dL( x,y,X)
pix + p2y -1 = 0.
Умножим первое уравнение на p2, второе — на p1 и вычтем второе из первого:
du ( x, y) du (x, y)
—я—^p2 pi = 0dx dy
Таким образом, система уравнений для укороченной подозрительной точки функции Лагранжа имеет вид:
du{x2y)_ldu{x2y) = pL; (4.9)
pix + p2y = 1 ■
(4.10)
Сопоставив (4.9) с (4.5), получим -— = — , т.е. норма замены
Ax pi
первого продукта вторым равна отношению цены первого продукта к цене второго.
Геометрический смысл условного экстремума функции u = f (x, y) в точке (x, y") состоит в том, что градиенты целевой
функции grad u (x*, y*) и функции связи grad g (x", y"), выходящие из точки (x , y ),обязательно расположены на одной прямой. Эти градиенты перпендикулярны линии уровня функций f (x, y) и линии функции связи g (x, y). Линия уровня функции f (x, y) и линия функции связи g(x, y) , содержащие экстремальную точку (x*, y") ,касаются в этой точке (рис. 4.9).
 |
Градиент grad g (x*,y*) функции g (x,y) в точке (x*,y*) также направлен вправо вверх, так как
grad g (xo,yo)=9g (X'У0) +5g ^Уо)/ = + ,
ox dy
а pj и p2 положительны по условию задачи.
> Пример 4.3. Функция полезности для двух товаров имеет вид u = xy. Бюджетное ограничение I и цены на первый товар pj
и второй товар p2 связаны соотношением pjx + p2y < I.
Определить характеристики оптимального набора для потребителя и функции спроса на товары (оптимальное количество каждого из приобретаемых товаров).
Решение. Как показано выше, эту задачу математического программирования можно заменить задачей на условный экстремум:
xy —> max при условиях
g (X y ) = pJx + p2y "1 = ^ x > 0, y > 0.
rp du du „
1ак как — = y , а — = x, то система уравнений (4.9) и
dx dy
(4.10) для укороченной подозрительной точки функции Ла-гранжа имеет вид:
г *
l. = л.
*
x * p2 * pJx*+ p2y* = I.
Из первого условия следует, что x*pj = y*p2, т.е. количество
денег, затраченных на оба товара, должно быть одинаковым. Подставив последнюю формулу во второе уравнение системы,
получим x*pj = y*p2 = 2 , т.е. расход потребителя на каждый
товар составляет половину общего дохода потребителя. Функция спроса на первый и второй товар приобретает вид:
* I * I
x =—; y =—. л
2pj 2p2
4.8. Задача потребительского выбора для произвольного числа товаров
Для произвольного числа товаров n функция полезности может быть записана следующим образом:
U = U (Xj, Х2, Xn).
Предельная полезность продукта под номером i определяется соотношением
Mxu (х, xn ) = 5UiXl._:,in).
Задача потребительского выбора для этого случая имеет вид: u(xj, х2,xn) — max
при условиях
PlxJ + p2x2 + ... + Pn < 1,
xj > 0, x2 > 0, xn > 0,
где u = u ) — функция полезности потребителя; pj, p2 ,
pn — цена на первый, второй и т.д. товар; I — бюджетное ограничение; xj, x2 , xn — количество приобретенных товаров первого, второго и т.д. типа.
Так же как и для случая двух переменных, эту задачу математического программирования можно заменить задачей на условный экстремум:
u (xj, x2,xn) — max при условиях
I-(Pjxj + P2x2 + ... + Pn ) = 0, (4.11)
xj > 0, x2 > 0, xn > 0.
Функция Лагранжа имеет вид:
L (XJ, xn, X) = lt (XJ, xn ) + 1 -(Pjxj + P2 x2 + ... + Pnxn )).
Составляем систему линейных уравнений, для чего приравниваем нулю первые частные производные функции Лагранжа:
dL (X!,..., хп, X) _ ди (X!,..., хп )
дх.
Xp1 _ 0,
dL (х1;
dL(xxn, X) _du{x11...1Xn)_
Xpn _ 0,
(plxl + p2X2 + ... + pnXn)_ 0.
dX
(4.12)
Умножим уравнение под номером i на pi, а уравнение под номером j на pj и вычтем одно из другого. В результате получим
pj ^ ' pi _ 0.
dx,Перепишем последнее выражение в виде
ди(xixn) /du(xil:::ix„) _£j_
dx,Таким образом, в точке оптимума отношение предельных по-лезностей любых двух товаров равно отношению их рыночных цен. Если, например, товар под номером i в к раз дешевле товара под номером j , то при замене вместо одной единицы товара j надо
использовать к единиц товара i . Такая замена может оказаться ненужной для покупателя. Поэтому считают, что всякое изменение ухудшает благосостояние потребителя.
Одно из уравнений из системы (4.12) для товара под номером i можно записать в виде
du (x
— _X*.
Здесь X* — оптимальный множитель Лагранжа, который равен отношению предельной полезности продукта под номером i , т.е. du (x,,x )
—^ , деленной на цену этого продукта pi. Поэтому это
отношение называют предельной полезностью на денежную единицу, т.е. на рубль.
Решением задачи потребительского выбора (4.11) является оптимальный потребительский набор из n продуктов, определяемый точкой в и-мерном пространстве. Координаты оптимальной точки
принято помечать звездочкой, а именно x* = ^xj*, x**,x*). Эта точка называется точкой спроса. Точка спроса, или оптимальное решение, зависящее от цен и бюджетного ограничения, называют функцией спроса. Функцию спроса можно представить в виде
х* = х*( P, I) ,
где х* — вектор оітхимальньгх решений; P — вектор цен; I — бюджетное ограничение.
Представим функцию спроса в виде набора n функций:
*= xnl(pj,■■■, pn, 1)
Каждая из представленных в этой системе функций называется функцией спроса конкретного товара.
Обсуждение Макроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы