5.2. модель харрода—домара
5.2. модель харрода—домара
Модель Харрода—Домара описывает динамику выхода (дохода) Y (t), который является суммой потребления C (t) и инвестиций
I (t). Эти показатели удовлетворяют следующему соотношению:
Y (t ) = C (t) +1 (t). (5.1)
Отношение инвестиций I (t) к выходу Y (t) для момента времени t называется нормой накопления в момент времени t . Формула для нормы накопления a (t) имеет вид:
) Y(t) 1 Y(t) ■
Экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы в модели не выделяются. Основной предпосылкой модели роста является формула взаимосвязи между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что инвестиции пропорциональны скорости роста дохода, т.е.
dY (t)
где в — предельный коэффициент капиталоемкости, или фондоемкости, прироста дохода, равный отношению прироста капитала (основных средств) к приросту выпуска.
Обратная величина b Вназывается предельным коэффициентом капиталоотдачи, или фондоотдачи.
В модель включаются следующие предпосылки:
модель не учитывает выбытие основного капитала;
модель не учитывает технического прогресса;
инвестиционный лаг равен нулю, т.е. инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала;
4) производственная функция является линейной.
Изменяющиеся во времени выход Y (t) называется абсолютной
траекторией. Дифференциальное уравнение для определения абсолютной траектории модели Харрода—Домара получим, подставив (5.2) в (5.1):
Y (t)C (t) + BdY^. (5.3)
Соотношение (5.3) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Обычно такие уравнения записывают в виде:
Известно, что решение линейного дифференциального уравнения такого вида можно представить в виде квадратур. Это решение можно отыскать во многих математических справочниках и учебниках по дифференциальным уравнениям. Для нашего случая решение принимает вид:
B
Y (t)-eB -—C (t)e'B dt + c1 eB C (t)e Bdt + cx
(5.5)
Пусть потребление в модели возрастает во времени по экспоненциальному закону. В этом случае функцию потребления от времени можно представить следующим образом:
С (t ) = C0ert.
Коэффициент при переменной в показатели степени экспоненты является постоянным темпом прироста. Действительно, по про-
шествии года темп роста потребления будет равен
СІЛ)
Со
: er. Темп
прироста находят как разность er -1. Если разложить экспоненту в ряд Тейлора и ограничиться первыми двумя членами, то получим er -1 и 1 + r -1 = r . Таким образом, темп прироста равен r. Заметим,
что темп прироста имеет размерность
1
год
Подставив выражение для потребления в (5.5), получим функцию выпуска от времени
C
B
(
2 erteBdt + c
2 V
dt + c1
(5.6)
B ,
X+C1
B
Постоянную интегрирования сг найдем, подставив в (5.6) t = 0.
Yo = Y (0 ) = e0
B
Отсюда получим
c = b r-1+ Yo B
._C.
1 Br
Подставив постоянную интегрирования в (5.6), найдем
C0
1 Br 1 Br
(5.7)
Проведем анализ этой функции выпуска от времени. Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Пусть r > —. Уже из постановки задачи следует, что общест-B
во будет проедать накопленный капитал, так как годовой темп прироста больше годовой фондоотдачи. Второе слагаемое в (5.7), отвечающее за потребление, становится отрицательным, так как
1 Br < 0 , что следует из условия r > —. Из этого же условия следуB
t
ет, что функция ert растет быстрее функции eB . Таким образом, через некоторое время второе слагаемое по модулю превысит первое. Из сказанного следует, что потребление будет занимать все большую часть дохода и в конце концов сведет к нулю сначала инвестиции, а затем доход.
2. Положим r <
—
B
т.е. темп прироста потребления ниже коэф-
фициента капиталоотдачи. В этом случае результат заметно зависит
й — Co
от нормы накопления в начальный момент времени а 0 = 1 и от
Yo
отношения нормы накопления в начальный момент времени к предельной фондоемкости.
Po
B
1 -C
(5.8)
Рассмотрим несколько вариантов при различных связях r, р0 и
1
B
с-
Y0 . Подставив это
o J
соотношение и (5.8) в формулу (5.7), получим
Отсюда следует, что выход растет, причем темп прироста равен коэффициенту при показателе степени экспоненты, равному р0.
Отсюда следует, что темп прироста прямо пропорционален норме
C
накопления в начальный момент времени а 0 = 1 0 и обратно
Y0
пропорционален коэффициенту капиталоемкости в .
2.2. Пусть — > r >р0. Это значит, что норма потребления больв
ше коэффициента, который прямо пропорционален норме накопления в начальный момент времени. Таким образом, инвестиции могут оказаться недостаточными для нормального развития экономики. Для поставленных условий коэффициент в (5.7) при первом слагаемом будет отрицательным. Действительно,
Y0
C0 _ Y0
1 Br 1 Br
( п
1 BrV Y0 J
BY0
1-Br
(-r +р0)< 0
Поскольку в соотношении (5.7) коэффициент при показателе
степени в первом слагаемом больше, чем во втором, так как В> r ,
то рано или поздно первое слагаемое по модулю превысит второе, и доход будет отрицательным.
2.3. Пусть r <р0. Это значит, что норма потребления меньше
коэффициента, который прямо пропорционален норме накопления в начальный момент времени. Таким образом, инвестиции могут оказаться слишком большими для нормального развития потребления. В этом случае при выполнении условия -B > r коэффициент в (5.7) при первом слагаемом будет положительным. Действительно,
Y0—^ = ^°~ (-r +Р0 )> 0.
01Br 1Br 0
Поскольку так же, как и в предыдущем случае, в соотношении (5.7) коэффициент при показателе степени в первом слагаемом больше, чем во втором, то рано или поздно первое слагаемое превысит второе. В дальнейшем первое слагаемое будет все более и более подавлять второе, и процесс инвестирования будет вестись ради инвестирования, а не ради удовлетворения потребностей людей.
> Пример 5.1. Доход в начальный момент времени составляет Y0 = 20 , а потребление в этот момент с0 = 12 .
Провести исследование параметров модели для двух вариантов: 1) r = 0,2 , в = 8; 2) r = 0,2 , в = 2 .
Решение. Норма накопления в начальный момент времени
C 12
составила а 0 = 1 0 = 1 = 0,4 .
0 Y0 20
Вариант 1. Так как — = — = 0,125 , то этот случай соответст-B 8
вует условию r > -В, т.е. темп прироста потребления превышает фондоотдачу. Функция дохода модели в этом случае в зависимости от времени имеет вид:
Y (t) = {20 Х— 1 • в*'8 + 12 e0,2t = 40 • в''8 20 • e0,2t.
w ^ 1 8 • 0,2 j 1 8 • 0,2
Потребление в модели изменяется по закону:
с (t ) = C0ert = 12e0,2t.
Отсюда находим закон изменения инвестиций:
I (t) = Y (t) C (t) = 40 • e'l8 20 • e0,2 ^ ' 12e0,2 ^' = 40 • e*'8 32e0,2 ^ '.
В целях определения момента времени, для которого инвестиции будут равны нулю, надо решить уравнение
40 • e^8 32e0,2t = 0 => e(1/8-0,2)t = lne((8-0,2)t = ln32 ;
40 40
-0,075t = -0,223 , t = 3 года.
Таким образом, через три года инвестиции уменьшатся до нуля. Момент времени, для которого доход будет равен нулю, находят из уравнения
40• e^8 -20• e0,2t = 0 => є(1/8-0,2>* = 0,5; lne(1/8-0,2)t = ln0,5; -0,075t = -0,693 , t = 9 лет. Через девять лет до нуля уменьшится доход.
а 0 4 11 Вариант 2. Находим р 0 =—0 = ^— = 0,2 и — = — = 0,5 . Этот
В 2 B 2
вариант соответствует случаю, когда r = р0 = 0,2 . Находим траектории
Y (t) = (20 — 1 • в''2 + 12 e0,2t = 20 • e0,24;
w ^ 1 2^0,2 J 1 2^0,2
С (t ) = C0ert = 12e0,2 ^';
I (t) = Y (t) C(t) = 20 • e0,2^' -12 • e0,2^' = 8 • e0,2^'.
Таким образом, выпуск, потребление и инвестиции развиваются с годовым приростом, равным 20\%. Л
5.3. Модель Солоу
Модель, предложенная американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии Р. Солоу, позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов за счет ряда особенностей.
Производственная функция в модели Солоу нелинейная. В качестве выхода принимается внутренний валовой продукт, который будем обозначать буквой Y .
Модель учитывает выбытие основного капитала, или фондов. Величину основного капитала будем обозначать буквой K. Темп выбывших за год основных производственных фондов обозначим буквой ц.
Модель включает описание динамики трудовых ресурсов и их влияния на экономический рост. Число занятых в производстве людей, или труд, обозначим через L . Годовой темп прироста числа занятых в производстве людей обозначим буквой v .
В модель Солоу входят также инвестиции, которые обозначаем через I . Принимается, что инвестиции изменяются прямо пропорционально внутреннему валовому продукту с коэффициентом пропорциональности р. Таким образом, I = pY. Коэффициент пропорциональности р называется нормой накопления. Он показывает
долю валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте. Потребление обозначим буквой C .
Таким образом, состояние экономики в модели Солоу задается пятью переменными, являющимися функциями времени. Время измеряется в годах.
Указанные параметры р , ц, v ограничены естественными границами:
0 <р<1, 0 <ц< 1, -1 <v< 1.
Значения этих параметров постоянны во времени, причем норма накопления р считается управляющим параметром, т.е. в начальный момент времени может устанавливаться управляющим органом системы на любом уровне из области допустимых значений.
На рис. 5.1 приведена схема функционирования экономики согласно модели Солоу.
L
Рис. 5.1. Схема функционирования экономики
Предполагается, что выпуск в каждый момент времени определяется неоклассической производственной функцией Y = F (K, L), например, функцией Кобба—Дугласа:
Y = F ( K, L )= A ■ K а-L
(5.9)
Темп прироста числа занятых в производстве людей за временной
интервал At определяется отношением , где AL — приращение
числа занятых за этот временной интервал. Годовой темп прироста числа занятых в производстве людей v , умноженный на тот же временной интервал At , также равен темпу прироста числа занятых в
производстве людей. Из сказанного следует: соотношение
L
-vAt.
Переходя к дифференциалам, получим
1 dL
Ldt
v . Решение этого диф-
ференциального уравнения имеет вид: ln L = v4 + ln В , где ln В — постоянная интегрирования. Отсюда находим L = bevt. Значение в находим при подстановке в последнюю формулу t = 0, т.е. L (0) = L0 = в . Окончательно имеем
L = L0e .
Найдем уравнение для фондов. Из постановки задачи следует, что фонды за временной интервал dt уменьшаются за счет их выбытия и увеличиваются за счет инвестиций. Их общее изменение за этот интервал составит dK = -xKdt + Idt. Отсюда получаем дифференциальное уравнение
dK „ ,
= -uK +1.
dt
Начальное условие для этого уравнения имеет вид: K (0) = K0.
Таким образом, модель Солоу в абсолютных показателях может быть представлена в виде:
dK
L = L0e v-t; — = -nK +1; K (0) = K0;
d (5.10)
Y = F (K, L); I = pY; с = (1 -p)Y.
Общий анализ удобно провести в удельных показателях. К таким показателям относят:
k = K — фондовооруженность; Y F (K, L)
y = j = ——— удельный внутренний валовой продукт, или народнохозяйственная производительность труда;
I
i = l = Р • У — удельные инвестиции на одного занятого;
с
c = j = (1 -p)y — среднедушевое потребление на одного занятого.
Исследование модели Солоу проведем для производственной функции Кобба—Дугласа (5.9). Для удельного внутреннего валового продукта имеем
У = L = A • (Т]а • fj"і а = A • kа= f (k). (5.11)
В дифференциальном уравнении ddK = -цК +1 от абсолютных
dt
їоказателей їерейдем к относительным, заменив K на -Ь . Таким образом, это уравнение можно зашісать в виде:
dK d (кЬ) іт т
= ——= -\кЬ +1.
dt dt
d (кЬ) db Tdk db
Так как —1—= k + Ь— и — = vL , то можно записать:
dt dt dt dt
dk
kvL + L— = -ukL +1.
dt
Разделив правую и левую части этого соотношения на Ь , получим:
d= -vk -\k + i = (v + ц) k + pf (k).
Из сказанного следует, что в удельных показателях модель Со-лоу приобретает вид:
d= -U + р.f (k); Х = v + ц; k(0) = k0 = ^ (5_J2) i = p.f(k); c = (1 -p).f(k). 0
Изменяющиеся во времени показатели, определяемые моделью (5.10) и (5.12), называются соответственно абсолютными и относительными траекториями.
Траектория называется стационарной, если показатели не изменяются во времени. Такая ситуация возможна в будущем, когда выход практически не изменяется со временем. Для стационарной траектории введем следующие обозначения:
k = k0 = const; y = у0 = const; i = i0 = const; c = c0 = const.
Верхний индекс «ноль» у показателя указывает на то, что показатель относится к стационарной траектории.
После выхода траектории на стационарный режим производная
dk 0
= 0 . Для этого режима дифференциальное уравнение принимаdt
ет вид:
-Ik0 +р-f (k0 ) = 0, или Ik0 =р-f (k0). (5.13)
Поскольку функция F(K, L) — неоклассическая, то f (0) = 0 ,
f' (k) > 0 , f'' (k) < 0. Если также задать условие р • f'(0) > X , то
уравнение (5.13) будет иметь единственное ненулевое решение k0 (рис. 5.2).
g (k )t
0
Если в начальный момент времени k0 = k0, то экономика находится на стационарной траектории и сойти с нее может только при изменении внешних условий, например, при изменении функции Y = F (K,L) (переход к новым технологиям). При k Ф k0 в экономике будет происходить переходной режим, который закончится установлением стационарного режима.
Точку k0 находят из уравнения (5.13), подставив туда (5.11):
Решим это уравнение относительно k0:
(5.14)
На рис. 5.2 введено обозначение к = к , при котором скорости роста функций g1 (к) = Ак0 (левая часть уравнения (5.13)) и
g2(к) = р-f(к0) (правая часть уравнения (5.13)) равны. Значение
к является решением уравнения, которое получается путем приравнивания производных функций g1 (к) и g2 (к):
рf'( к ) = X (5.15)
Точку к находим из этого уравнения, подставив туда производную от (5.11), равную у'к =аAка-1:
р-а-А-ка-1 = A; к1-а=арА; к* = [^2^. (5.16)
Для описания переходного режима необходимо решить дифференциальное уравнение из (5.12), которое для производственной функции Кобба—Дугласа (5.11) приобретает вид:
— = -Ак + рA-к а.
dt
Введя замену к = ue-х -1, получим
du -X-t л -"A-t л -X-t , л а -а-"A-t
e u A -e =-A -u-e +рA-u -e ,
dt
или
dt
Это уравнение с разделяющимися переменными
du
Его решение имеет вид:
р A edt.
1 -а A(1 -а)
і1-а р Ae^A-t
Постоянную интегрирования находим из условия t = 0, u (0) = k0:
с1
A
k0
1 -аХ(1 -а)
Подставив выражение для постоянной интегрирования в предыдущую формулу, получим
V e(1-a>Xt_ + k1-a ?• A11-а
X
X
Так как для стационарной траектории справедливо соотноj (і1-а A
шение (k ) = (см. (5.14)), то формулу для u можно записать в виде:
u = [(k0)1-а •e(1-a)Xt + k1-a-(k0)1-аГ
Учитывая, что u = k (t) e ^ t, найдем k(t) = J(k0)1-a •e(1-a)Xt •e-(1-a)Xt + (k1-a-(k0)
I1/ (1-(1-a)X^t I
Окончательно получим
^ ) = f(k 0)
+ 1 k
(k 0 )
e-(1-a)Xt |1-а
(5.17)
Отсюда, в частности, следует, что при стремлении времени к бесконечности траектория выходит на стационарный режим, т.е.
народнохозяйственная производительность труда стремится к k0 . Действительно,
lim k (t ) = k0.
t -><»
Вид переходного процесса, определяемого траекторией (5.17), зависит от соотношения величин k0, k* и k0. Первая производная фондовооруженности k от времени, являющаяся исходным dk
дифференциальным уравнением — = -Xk + р-A^kа , будет полоdt
жительной при возрастающей функции и отрицательной — при убывающей. Положив первую производную положительной, получим
-Xk + рA^k а> 0; p-A > k1-a.
X
(
01-а A / 1k ) = —— , запишем (k ) > k ~a. Отсюда
следует, что переходной процесс будет возрастающим при k < k0. Аналогично можно показать, что переходной процесс будут убывающим при k> k0 .
Проведем исследование функции (5.17) на наличие точки перегиба. Для этих целей определим вторую производную и приравняем ее нулю:
—= -X— + р^ A = (-X + a-p-A^ka 1)— = 0.
dt2 dt dt dt
Точка перегиба имеет место при
1
k_1-a = а • p • A ; k fajp-AVcx
X ; I X J .
Сопоставив полученное решение с приведенной ранее формулой для вычисления абсциссы k= k* , при которой скорость роста функций g2 (k) равна росту скорости функции, видим, что эти
формулы совпали. Отсюда находим, что абсцисса точки перегиба равна
k= k* .
В общем случае для траектории фондовооруженности выделяют три типа переходного процесса. Эти типы зависят от соотношения трех абсцисс: k0 , k* и k0 .
1. Пусть k0 < k*. В этом случае с начала процесса до достижения точки перегиба имеем ускоренный рост фондовооруженности. При достижении точки перегиба этот процесс сменяется замедленным ростом. На рис. 5.3 эта траектория помечена цифрой 1. В пределе при t — oo траектория стремится к к0.
кА
2. При выполнении условий к < к0 < к0 имеет место замедленный рост фондовооруженности. На рис. 5.12 эта траектория
помечена цифрой 2. В пределе при t — oo траектория стремится
к к0.
3. Если в начале процесса фондовооруженность превышает свое
стационарное значение, т.е. если выполняется условие к0 > к0, то
траектория фондовооруженности является убывающей. Это говорит о том, что общество проедает фонды.
Обсуждение Макроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы