12.1. характеристики портфеля ценных бумаг
12.1. характеристики портфеля ценных бумаг
Если инвестор покупает ценные бумаги хотя бы двух видов, например акции РАО ЕЭС и акции Ростелекома, то говорят о портфеле ценных бумаг [1—3].
Предположим, что портфель составлен из и-го числа различных видов ценных бумаг. Доходности каждой ценной бумаги являются случайными величинами. Пусть Х}. — доля общего вложения, приходящаяся на j-й вид ценных бумаг, подчиняющаяся соотношению
1>, = 1. (12.1)
Ожидаемая доходность j-й ценной бумаги, входящей в
портфель, является математическим ожиданием доходности этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность портфеля, являющаяся математическим ожиданием от суммарной доходности входящих в портфель ценных бумаг, вычисляется по формуле ap = Е xjaj■ (I2-2)
j=1
В качестве меры риска портфеля ценных бумаг считают среднее квадратичное отклонение его доходности, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии. Дисперсия доходности портфеля определяется соотношением
nn
о = ЕЕ xixj сту, (12.3)
і=1 j=1
где aij— ковариация случайных доходностей і-йи j-й ценных бумаг, вычисляемая по формуле
где E — оператор математического ожидания; Ai, Л,— случайные доходности і-йи j-й ценныгх бумаг соответственно.
Предположим, что эффективности различных ценных бумаг не коррелированны, т.е. = 0 при і ф j . Тогда (12.4) принимает вид:
-e{(aj ~ ajf} = 0y (12.5)
Таким образом, если Oj = 0 при і ф j , то ковариация j-й ценной
бумаги равна ее дисперсии. В этом случае формула для дисперсии доходности портфеля ценных бумаг (12.3) приобретает вид:
о p = Е x2 о2. (12.6)
j=1
Если деньги вложены в ценные бумаги равными частями, т.е. xj = /n , то формулы (12.2) и (12.6) можно записать в виде:
ap = £a;; (12.7)
n j=1
оp = -JЕЕ о2 ■ (12.8)
n j=1
Рассмотрим возможность уменьшения риска снижения доходности за счет диверсификации (разнообразия) портфеля. Если в правую часть (12.8) вместо всех а2 подставить максимальное значение дисперсии а2пах из всего набора дисперсий а2, то получим неравенство
Правая часть этого соотношения равна:
1 lV 2 1 Г—Г-J2.a max =І"а max
Окончательно получим
аp <amax. (12.9)
Из выражения (12.9) следует, что при росте числа видов ценных бумаг n , доходности которых не коррелированны, риск портфеля уменьшается и стремится к нулю при n -—оо. Этот результат называется эффектом диверсификации портфеля.
Для анализа корреляции на величину риска портфеля ценных бумаг в формуле для дисперсии доходности (12.3) выразим ковариа-цию случайных доходностей Ai и Aj через коэффициент корреляции:
-^L-. (12.10)
Тогда (12.3) можно представить в виде:
аp =£ I Ы)(ajXj)ру.. (12.11)
і=1 j=1
Рассмотрим случай полной прямой корреляции р j = 1 и случай полной обратной корреляции Pj =-1. При Pj = 1 имеем:
n | n | |
= | ||
Кj =1 J | Kj=1 J |
=1j=1
так как при суммировании по любой переменной получим один и тот же результат.
Если деньги вложены в ценные бумаги равными частями, т.е. Xj = 1/ n , то
( n 2 , n
1
j
=1
n
j=1
Если в правую часть последнего соотношения вместо всех a j
подставить максимальное и минимальное значения стандартного отклонения из всего набора этих отклонений, то получим неравенство
a <a <a
mm — p — max
Отсюда следует, что среднее квадратичное отклонение портфеля при полной прямой корреляции доходностей всех ценных бумаг будет иметь тот же порядок, что и стандартное отклонение отдельных ценных бумаг, т.е. диверсификация не дает положительного эффекта.
При полной обратной корреляции, т.е. при pj =-1, рассмотрим случай двух ценных бумаг. Для i = j выражение для коэффициента корреляции, определяемого формулой (12.10), принимает вид:
2
a a a, Pjj = — = — = 1.
ajaj ajaj
Подставив это в (12.11) и учитывая, что n = 2, получим:
a P = EE (a,X, ) (a jXj ) p,j = a X1 + a2x2 2a1x1a2 x2 = (a1X1 a2 X2 ) •
i=1 j=1
Из этого выражения следует, что при полной обратной корреляции дисперсия доходности портфеля может быть равна нулю, т.е. риск отсутствует. Это имеет место при выполнении соотношения
a1X1 =a2 X2.
Состав такого портфеля можно определить, решив систему из полученного уравнения и уравнения для долей портфеля (12.1), т.е.
X1 + X2 = I,
X1 2 X2 = 0.
a1
Решения этой системы имеют вид:
а2і СТ1
1
1. Определить характеристики портфеля, состоящего из четырех типов ценных бумаг при равномерном вложении и при отсутствии корреляции доходностей между бумагами. Решение. Для определения ожидаемой доходности и стандартного отклонения портфеля воспользуемся формулами (12.7) и (12.8):
ap = ^Ta. = (12 +10 + 8 + б) = 9;
п1 =1 4
ap = -A TTa2, = ij2,52 +12 + 0,42 + 0,42 = 0,688 .
p 1 4
2. То же, что и в пункте 1 для второго, третьего и четвертого
типов ценных бумаг.
Решение.
ap =1 (10 + 8 + 6) = 8; ap = ^12 + 0,42 + 0,42 = 0,383 .
p 3у ' p 3V
То же, что и в пункте 1 для второго и третьего типов ценных бумаг. Решение. ap =1 (10 + 8) = 9; a p = ^12 + 0,42 = 0,534.
То же, что и в пункте 1 при полной прямой корреляции.
Р е ш е н и е. Ожидаемая доходность та же, что и в пункте 1. Стандартное отклонение определяется по формуле
a = TP a 1 =1 (2,5 +1 + 0,4 + 0,4) = 1,075.
n j=i 4
5. Определить долю ценных бумаг портфеля, состоящего из
первого и второго типов, при их полной обратной корреляции.
Решение. Доля ценных бумаг портфеля, состоящего из двух типов этих бумаг, при их полной обратной корреляции находится по формулам
x _ a2/CTl _ 1/2,5 _ 0,286.
1 1 + а2/а1 1 + 1/2,5
x2 _ l—— _ 1 _ 0,714 . 4
2 1 + сг2/a1 1 + 1/2,5
Обсуждение Макроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы