12.6. оптимальный портфель с добавлением безрисковых ценных бумаг
12.6. оптимальный портфель с добавлением безрисковых ценных бумаг
Доходность безрисковой ценной бумаги будем обозначать a0 . Риск
такой бумаги равен нулю, т.е. дисперсия о02 = 0 . При добавлении в
портфель ценных бумаг безрискового актива зависимость доходности портфеля от риска трансформируется в отрезок прямой линии. Ее график представлен на рис. 12.3. Кривая линия на графике характеризует зависимость доходности от риска портфеля, составлен
12.7. Алгоритм построения оптимального портфеля ценных бумаг
Для построения функции ожидаемой доходности портфеля, состоящего из безрисковых ценных бумаг и n типов рисковых ценных бумаг, используется следующий алгоритм.
Определяют состав оптимального портфеля из n типов рисковых ценных бумаг для экстремальной точки на кривой ap (а )
(точка D на рис. 12.3) по формуле \% = а-1 ■р .
Определяют доходность и дисперсию в экстремальной точке по формулам (12.2) и (12.3) или по формулам (12.23).
и находят для этой матрицы обратную матрицу
По полученным результатам строят график ap (a p) для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг.
Определяют координаты точки касания. Для этих целей составляют матрицу риск-доходность
^00 a10 л01
*0n
*0,n+1 a1,n+1
A0,n+2 a1,n+2
A'1
a
n0
n1
an
a
n,n+1
n,n+2
n+1,nan+1,n+1 an+1,n+2
an
n+1,0 n+1,1 an
an+2,0 an+ 2,1 ... an+2,n an+2,n+1 an+ 2,n+2
Состав портфеля ценных бумаг определяется соотношением
Отсюда находим формулу для определения доходности ap точке касания. В общем случае
х0 = a0,n+1 ' ap + a0,n+2Так как в точке касания х0 = 0 , то ap = —0,n+2 .
a0,n+1
в
6. Определяют структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания по формуле
0 " | «00 | «01 | a0n | a0,n+1 | a0,n+2 | " 0 " | ||
Х1 | аю | a11 | a1n | a1,n+1 | a1,n+2 | 0 | ||
Xn | an0 | an1 | ann | an,n+1 | an,n+2 | 0 | ||
X | an+,00 | an+1,1 | ■■■ an+1,n | an+1, n+1 | an+1,n+2 | ap | ||
°n+ 2,0 | an+2,1 | ■ ^^ an+2,n | an+2,n+1 | an+2,n+2 | 1 |
7. Определяют дисперсию в точке касания по формулам (12.3) или (12.24).
8. На оси
a
откладывают точку, координата которой равна до-
ходности безрисковой ценной бумаги a0.
9. Через эту точку проводят прямую, касательную к функции ap (a )
для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг (см. рис. 12.3). Отрезок, соединяющий точку на оси ap и точку касания K,
является искомой функцией ожидаемой доходности портфеля.
определяют состав портфеля инвестора.
только стандартное отклонение, характеризующее его отношение к
риску. По формуле
Доходности ценных бумаг не коррелированны. Определить функцию ожидаемой доходности портфеля, состоящего из этих бумаг, от стандартного отклонения, а также доходность и состав портфеля инвестора при выборе им стан-
дартного отклонения портфеля a p
--0,3.
Решение. 1—4. Следует обратить внимание на то, что в состав портфеля вошли те же ценные рисковые бумаги, что и в предыдущих двух примерах. Состав такого оптимального портфеля был определен, и была построена функция ар =a(арj
и найдем для этой матрицы обратную матрицу:
А'1
1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913
-1,73817 1,964796 -0,10561 -0,12101 1,760176
-0,21452 -0,10561 0,683168 -0,36304 5,280528
0,275028 -0,12101 -0,36304 0,209021 6,050605
-13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088
1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352
1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081
Доходность в точке касания равна
= 0,1164.
a = _ а0,п+2 = _ 1,523652 °p а0п+1 _13,0913
6. Найдем структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания:
1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 1,523652 -1,73817 1,964796 -0,10561 -0,12101 1,760176 -0,07041
А_1 I -0,21452 -0,10561 0,683168 -0,36304 5,280528 -0,21122
А = 0,275028 -0,12101 -0,36304 0,209021 6,050605 -0,24202 -13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 3,520352 1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081
" 0" | " -0,00018" | |
0 | 0,134477 | |
0 | 0,403432 | |
0 | 0,462266 | |
0,1164 | -6,72387 | |
1 | 0,268955 |
Таким образом, состав портфеля в точке касания:
х.
= 0,134; x2 = 0,403; x3 = 0,463.
Найдем дисперсию в точке касания по формуле (12.3):
Р = ЕЕ хгхрц = 0,1342 • 0,25 + 0,4032 • 0,5 +
i=1 j=1
+ 0,4632 • 0,8 = 0,25683; -р = 0,51.
По оси ординат откладываем координату, соответствующую доходности безрискового актива (рис. 12.4).
о о к
X
о
0,12 0,1 0,08 0,06 0,04
0,02
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Стандартное отклонение
0,6
Рис. 12.4. Графики доходность-риск
9. Проводим через эту точку прямую, касательную к функции
доходности от стандартного отклонения рискового портфеля.
Точка касания имеет координаты а pk = 0,51; apk = 0,116.
10. Риск портфеля, выбранный инвестором, составляет
а ри = 0,3. Связь доходности, желаемой инвестором, с желаемым риском определяется соотношением
,,и = (арл ~ a0+ a0 = (0,116 0,04)-°+ 0,04 = 0,085.
а р,к 0,51
X
1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 1,523652
-1,73817 -0,21452 0,275028
1,964796 -0,10561 -0,12101 -0,10561 0,683168 -0,36304 -0,12101 -0,36304 0,209021 1,760176 5,280528 6,050605 -0,07041 -0,21122 -0,24202
-13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 3,520352 1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081
Г 0" | " 0,410891" | |
0 | 0,079208 | |
0 | 0,237624 | |
0 | 0,272277 | |
0,085 | -3,9604 | |
1 | 0,158416 |
Таким образом, доля различных ценных бумаг в портфеле составит:
x0 = 0,411;
0,079;
v2
= 0,238;
0,272.
Следует обратить внимание на то, что риск портфеля, равный 0,3, меньше риска самой малорисковой ценной бумаги, риск которой равен 0,5. С другой стороны, доходность портфеля, равная 8,5\% годовых, больше доходности самой малорисковой ценной бумаги, доходность которой равна 5\% годовых. Л
Обсуждение Макроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы