6.13. экстремумы выпуклых и вогнутых функций

6.13. экстремумы выпуклых и вогнутых функций

Пусть V — некоторое выпуклое множество л-мерных точек, a f(M) — функция, определенная на множестве V.

Если f(M) — вогнутая (выпуклая) функция на множестве V, то в любой точке условного локального максимума (минимума) она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения.

Любая стационарная точка дифференцируемой вогнутой (выпуклой) функции f(M) является точкой локального максимума (минимума) этой функции.

Отсюда, в частности, следует, что если стационарная точка дифференцируемой вогнутой (выпуклой) функции f(M) принадлежит множеству V, то в этой точке функция f(M) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения.

О Пример. Рассмотрим вогнутую функцию f(M) = lOXj + + 16jc2 X2 х на выпуклом множестве V= {M(xv х2) х1 + 2х2<21; 5х! + 2х2<42}.

Точка М0(5; 8) принадлежит множеству Ки является стационарной точкой функции f(M), так как grad fM = 0. Значит, функция f(M) достигает в точке М0(5; 8) своего наибольшего значения ДМ0) = 89.»