7.5. определенный интеграл

7.5. определенный интеграл: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

7.5. определенный интеграл

Интегральной суммой для функции у=fix) на отрезке [а, Ь] наи

зывается выражение ^/(Зс,)Дхг, где п — число «элементарных» i=i

отрезков, на которые разбивается отрезок [a, b];xt — произвольная точка внутри отрезка [xt_v х.], длина которого равна Дх. (рис. 7.1).

Определенным интегралом функции у = fix) на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего «элементарного» отрезка:

Ь п

fix)dx= lim YfiXiYvCj.

J тахДх,-->0"?Т

а 1 " '=1

Число а называют нижним пределом интегрирования, Ъ — верхним пределом.

Геометрический смысл определенного интеграла: интеграл

*

J/ix)dx численно равен площади криволинейной трапеции, ограа

ничейной графиком функции у fix) > 0, осью Ох и прямыми х-а, х = 6(рис. 7.2).

7.6. Основные свойства определенного интеграла

Г. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак на обратный:

J/(x)cbc = -jf(x)dx.

2°. Каковы бы ни были числа а, Ь, с, имеет место равенство

Ь с Ь

f{x)dx = f(x)ux + f{x)dx.

а а с

3°. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

ъ ъ JAf(x)dx = AJf(x)dx.

а а

4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической

сумме определенных интегралов от этих функций:

ь ъ ъ ъ

/[/(*) + _ h(x)]dx = j f(x)dx + jg(x)dx jh(x)dx.

a a a a

5°. Теорема о среднем значении. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении аргумента: ь

jf(x)dx = (b-a)f(c),

а

где с є ]а, Ь[.

6°. Если F(x) — какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то справедлива формула Ньютона — Лейбница

ъ

jf(x)dx = F(b)-F(a).

181

7.7. Вычисление определенных интегралов

Основным способом вычисления определенных интегралов является определение первообразной для подынтегральной функции и использование формулы Ньютона — Лейбница, которая может быть записана в виде *

jf(x)dx = F(x)a=F(b)-F(a).

а

Для многих функций очень сложно определить первообразную: не все функции имеют первообразные в виде элементарных функций. Поэтому для вычисления определенных интегралов используют приближенные формулы.

Разбивают отрезок интегрирования [а, Ь] на и равных частей длиной h = (6 а)/п и используют одну из следующих формул:

формула прямоугольников

ъ

у&х h(y0 + Уі+ ... +

а

формула трапеций

уйх ~ п(?1±У» +Уі + у2+_+ у

а ^ '

формула парабол (Симпсона) (и — четное)

jydx « -(у0 + 4Уі + 2у2 + 4у3 +... + 2у„_2 + 4уп_, + уп)

а

(чем больше п, тем точнее результат вычисления определенного интеграла).

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

7.5. определенный интеграл: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.