7.5. определенный интеграл
7.5. определенный интеграл
Интегральной суммой для функции у=fix) на отрезке [а, Ь] наи
зывается выражение ^/(Зс,)Дхг, где п — число «элементарных» i=i
отрезков, на которые разбивается отрезок [a, b];xt — произвольная точка внутри отрезка [xt_v х.], длина которого равна Дх. (рис. 7.1).
Определенным интегралом функции у = fix) на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего «элементарного» отрезка:
Ь п
fix)dx= lim YfiXiYvCj.
J тахДх,-->0"?Т
а 1 " '=1
Число а называют нижним пределом интегрирования, Ъ — верхним пределом.
Геометрический смысл определенного интеграла: интеграл
*
J/ix)dx численно равен площади криволинейной трапеции, ограа
ничейной графиком функции у fix) > 0, осью Ох и прямыми х-а, х = 6(рис. 7.2).
7.6. Основные свойства определенного интеграла
Г. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак на обратный:
J/(x)cbc = -jf(x)dx.
2°. Каковы бы ни были числа а, Ь, с, имеет место равенство
Ь с Ь
f{x)dx = f(x)ux + f{x)dx.
а а с
3°. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
ъ ъ JAf(x)dx = AJf(x)dx.
а а
4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической
сумме определенных интегралов от этих функций:
ь ъ ъ ъ
/[/(*) + _ h(x)]dx = j f(x)dx + jg(x)dx jh(x)dx.
a a a a
5°. Теорема о среднем значении. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении аргумента: ь
jf(x)dx = (b-a)f(c),
а
где с є ]а, Ь[.
6°. Если F(x) — какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то справедлива формула Ньютона — Лейбница
ъ
jf(x)dx = F(b)-F(a).
181
7.7. Вычисление определенных интегралов
Основным способом вычисления определенных интегралов является определение первообразной для подынтегральной функции и использование формулы Ньютона — Лейбница, которая может быть записана в виде *
jf(x)dx = F(x)a=F(b)-F(a).
а
Для многих функций очень сложно определить первообразную: не все функции имеют первообразные в виде элементарных функций. Поэтому для вычисления определенных интегралов используют приближенные формулы.
Разбивают отрезок интегрирования [а, Ь] на и равных частей длиной h = (6 а)/п и используют одну из следующих формул:
формула прямоугольников
ъ
у&х h(y0 + Уі+ ... +
а
формула трапеций
уйх ~ п(?1±У» +Уі + у2+_+ у
а ^ '
формула парабол (Симпсона) (и — четное)
jydx « -(у0 + 4Уі + 2у2 + 4у3 +... + 2у„_2 + 4уп_, + уп)
а
(чем больше п, тем точнее результат вычисления определенного интеграла).
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы