7.11. обыкновенные дифференциальные уравнения

7.11. обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, функцию у и ее производные:

F(x,y,y',...,y«>) = 0Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение. Дифференциальное уравнение л-го порядка вида

У(п)=Ах,У,У',...,У(п-Х)) (7.5)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения л-го порядка называется всякая функция у ф(х), определенная для значений х на конечном или бесконечном интервале, имеющая производные до л-го порядка включительно и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х.

Операцию нахождения решений дифференциального уравнения называют интегрированием этого дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (7.5) называется такое его решение

у = ф(х,С1,С2, ...,СЯ),

которое содержит столько независимых произвольных постоянных Ср С2,Сп, каков порядок этого уравнения.

В результате решения дифференциального уравнения нередко приходят к зависимости, в которой у явно не выражается через х, т.е. получают выражение

Q(x,y,Cl,C2,...,Cn) = 0. (7.6)

Равенство вида (7.6), неявно выражающее общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом этого дифференциального уравнения.

О Пример. Решением дифференциального уравнения второго порядкам" + у = 0 является, например, функция у sinx.

В самом деле, у' cosx, у" -sinx. Подставив выражения для у и у" в уравнение, получаем -sinx + sinx = 0. Функции у = CjSinx,

192

у C2cosx, где Cj и С2 — произвольные постоянные, также являются решением данного уравнения. •

Во многих случаях требуется находить решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям. Например, задача Коши состоит в отыскании решения дифференциального уравнения (7.5), определенного в некоторой окрестности точки xQ и такого, что

У(х0)=У0, У'(х0)=ур y(n-l)(x0)=yn_v

щеу0, yv уп_х — заданные числа.

О Примеры.

Найти решение дифференциального уравнения у' = х, удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = yQ.

Интегрируя левую и правую части уравнения, находим

Xі г

где С — произвольная постоянная. Подставляя начальные условия,

Xі

определяем С: С = у0 - Искомое решение примет вид

X Хп

y = Y + y°-YЭто решение определено на всей числовой оси.

Решение дифференциального уравнения у' + у2 = О, удовлетворяющего условию у(0) = 1, имеет вид

У(х) = ^Г-1 + х

Это решение определено на полуоси ]-1, +■»[. •

Кроме задачи Коши, для дифференциального уравнения (7.5) решаются также краевые задачи. Например, для дифференциального уравнения второго порядка^" f(x, у, у') отыскивают решение на отрезке [х0, xj такое, что выполняются граничные (краевые) условия у(х0) = у0, у(хх) = ух.

О Пример. Найти решение уравнения у" = 4х, удовлетворяющего граничным условиям у(0) = 1, у( 1) = -.

193

Последовательно интегрируя уравнение, находим у' = 2х2 + Cv

2 ,

у = —х+ Схх+С2. Подставим в выражение для у граничные условия.

3 2 з Получим Cj = О, С2 = 1. Искомое решение таково: у = —х +1. •