7.12. дифференциальные уравнения первого порядка

7.12. дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается следующим образом:

F(x,y,y') = 0.

Разрешенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

/=Я*,у).

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную:

у = ф(х,С).

Дифференциальные уравнения вида

^Г = / = ЯхМу) (7.7а) dx

или

f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy = 0 (7.76)

называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Если функция g(y) в уравнении (7.7а) или функции gyiy), f2(x) в уравнении (7.76) не равны нулю на рассматриваемом интервале, то данные уравнения приводятся к виду

dy =/(x)dx, Шъ + Шйу^.

g(y) ш аоо

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделенными переменными.

194

dx

О Пример. Решить уравнение у' =

х dy

Это уравнение приводится к виду — = . Интегрируя его

левую и правую части, получаем У х

Ыу -lnlxl + ЫС In

>=c-.»

X

Дифференциальное уравнение вида y' + P(x)y = Q(x),

(7.8)

где Р(х), Q(x) — заданные непрерывные функции от х или постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение этого уравнения ищется в виде

y(x) = «(x)v(x), (7.9)

где и(х) и v(x) — непрерывные функции ОТ X.

После дифференцирования выражения (7.9) и подстановки в (7.8) получают выражение

и(х)

dv(x)

+ P(x)v(x)

. ,di/(x) . + v(x)—— = Q(x).

dx

(7.10)

Функция v(x) выбирается из условия dv(x)

+ P(x)v(x) = 0,

dx

которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. После определения v(x) и подстановки его в уравнение (7.10) вновь получают уравнение с разделяющимися переменными для определения функции и(х).

Окончательно формула для определения у(х) имеет вид

y(x) = e-!PM*[fQ(x)JPMdxdx + C

2

О Пример. Решить уравнение у'

х + 1

(7.11)

Используя формулу (7.11), получаем

АХ)

дх х+1

-2f—

Зе Jx+1dx + C

195

= e^+1)2[j(x + l)3eto<x+1>"2djc + C

= (x +1)2 [J(x + l)dx + C] = (x +1)2

Ґ 2 X ^

— + x + C

V2