7.13. линейные дифференциальные уравнения п-го порядка

7.13. линейные дифференциальные уравнения п-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

у(и) + а^х)/"-» +... + ап(х)у = й(х), (7.12)

где а{(х), ап(х), Ь(х) — известные функции от х; у — искомая функция.

Функции а,{х),ап(х) называются коэффициентами дифференциального уравнения (7.12).

Уравнение (7.12), в котором Ь(х) ф 0, называется неоднородным.

Наряду с каждым неоднородным уравнением (7.12) можно рассмотреть соответствующее ему однородное уравнение

у(п) + а^х)/"-^ +... + ап(х)у = 0. (7.13)

Если у, = ф^х), у2 = ф2(х),ук = <рк(х) — решения однородного уравнения (7.13), то любая их линейная комбинация

где Cv С2, Ск — постоянные, также является решением этого однородного уравнения.

Система функций называется линейно независимой на интервале ]а, Ъ[, если ни одна из этих функций не может быть выражена в виде линейной комбинации остальных функций.

Фундаментальный набор решений — это набор линейно независимых решений уравнения (7.13), содержащий такое количество функций, каков порядок дифференциального уравнения.

Теорема. Для того чтобы решения у, = фДх), у2 = Ф2(х), уп = фи(х) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на отрезке [а, Ь] коэффициентами были линейно независимыми на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

196

был отличен от нуля при любом х из [а, Ь].

Любое решение однородного уравнения можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений

i=l

где С. (/= 1, 2,и) — произвольные постоянные.

Выражение (7.14) называется общим решением однородного дифференциального уравнения (7.13).

О Пример. Уравнение у" + у = 0 имеет решения

у = sinx, у = 2 sinx, у = cosx.

Легко убедиться, что первое и второе решения не образуют фундаментальную систему, а первое и третье — образуют. Следовательно, общее решение данного уравнения можно представить в виде

у = CjSinx + C2cosx, где Cj, С2 — произвольные постоянные. •

Пусть у — некоторое решение неоднородного уравнения (7.12), а у — общее решение однородного уравнения (7.13). Тогда У = У + У — общее решение неоднородного уравнения (7.12).

Зная общее решение неоднородного уравнения (7.12), легко найти любое его частное решение.