7.15. системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

7.15. системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Система п уравнений первого порядка с и неизвестными функциями, разрешенная относительно производных, имеет вид

~т^ = Л(х,УиУ2,-,У„), ах

(7.20)

^ = fn(x,y1,y2,...,y„),

где х — независимая переменная; yv у2,уп — неизвестные функции.

Решением системы (7.20) называется всякая система функций у фДх), у2 ф2(х), уп фп(х), определенных на конечном или бесконечном интервале изменения аргумента х, имеющих производные первого порядка и обращающих уравнения системы (7.20) в тождества по х.

Задача Коши для системы (7.20) заключается в определении ее решения уj = фДх), у2 ф2(х),уп ф„(х), удовлетворяющего начальным условиям ух(х0) = у, у2(х0) = у, уп(х0) = у°, где у°, у°, ...,у\% — заданные числа.

Если правые части системы (7.20) являются линейными функциями относительно yv у2, у , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Для решения системы дифференциальных уравнений в некоторых случаях удобнее переходить от данной системы к одному уравнению и-го порядка.

200

= 2ух + у2, 5?ї 2Уг

О Пример. Решить систему дифференциальных уравнений

dx

йу2 =

. dx

гф>і

при следующих начальных условиях: у,(0) = 2, у2(0) = 0. Продифференцируем первое из уравнений по х:

dx'

d2?i =2dyt | dy2

dx dx

Подставим в правую часть уравнения выражения первых производных:

d2Ji _

2 = 4j>! + 2у2 + 5ft 2у2 = 9уи

dx

т.е.

а2л

dx2

■9Л=0.

Характеристическое уравнение X2 9 = 0 имеет корни А,х 2 = ±3. Общее решение уравнения запишется следующим образом:

yl = Cleix + C2e~3x.

Для у2 из первого уравнения системы находим

«-Зх

Зх

«Зх

-Зх

3>2 = ^ 2ух = 3Cfi3x ЗС2е~зх 2QeJX 2С2езх = Cxtix 5С2е

Используя начальные условия, найдем С, и С2. Имеем 2 = Cj + C2, 0 = Cj 5С2, откуда С1 = 5/3, С2=1/3. Решение системы имеет вид

у, = -е + -е

л з 3

3* . 1--**г у2 = -(е3х-е-3х).т

Систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно записать в матричной форме:

dx

= Ау,

(7.21) 201

dV

dx

dy2 dx

dv„

^ dx J

Решение ищется в виде

Л = Ае » 3>2 = />2е » •••> И, ДО

В результате дифференцирования и подстановки в уравнение (7.21) получаем

(A-XE)p = Q,

■X

*21

"12 -X

*22

*1л

*2п

= 0.

(7.22)

ап ап2 аип-^

Уравнение (7.22) является характеристическим уравнением матрицы и системы дифференциальных уравнений, которое имеет и корней. В случае действительных и разных корней каждому корню X. соответствует собственный вектор р. = (ри, ръ, —,Рп)Соответствующие решения будут иметь вид

Уіі Р2іе > •"' У пі ±-nr

Для и корней имеем и аналогичных решений. В результате получается фундаментальная система решений.

Общее решение системы дифференциальных уравнений запишется в виде

202

Уі = сіУп + СгУп + + СпУю Уі = С1У21 + С2У22 + + Спу2п,

Уп СУп + С2Уп2 + •■• + С„уПі

О Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

4л + 6j>2,

= 3 л + 7у2.

4Уі = dx

dy2 _ dx

= 0.

7-А

Корни этого уравнения Aj = 1, А2 = 10.

При А = 1 получаем одно уравнение для определения собственного векторарп + 2р21 = 0, откударх = (2; -1).

При А = 10 получаемрп-р22 = 0, т.е.р2 = (1; 1).

Фундаментальная система решений такова:

уп = 2ех, У21 = -ех,

УП = *Ш> У22 = *Ш

Общее решение принимает вид

^2 = -СіЄх + С2е10х. •