8.3. признаки сходимости положительных числовых рядов
8.3. признаки сходимости положительных числовых рядов
Признаки сравнения. Если все члены рядов
Oj + a2 + ... + ап +(8.1)
b1 + b2 + ... + bn + ... (8.2)
не отрицательны иап<Ьп,п = 1, 2, то из сходимости ряда (8.2) следует сходимость ряда (8.1), а из расходимости ряда (8.1) следует расходимость ряда (8.2).
Если все члены рядов (8.1) и (8.2) положительны и существует lim — = к, 0 < к < +оо, то эти ряды сходятся или расходятся о д н о временно. 208
О Пример. Ряд + — + + ... + — + ... расходится, так как гар-2 4 6 2я
,11 1
моническии ряд 1н 1 1-... + — +... расходится и
2 3 я
,. 1/(2и) л 1
hm /v = km— - . •
и-»~ 1/я и->~> 2л 2
Признак Коши. Если все члены ряда
я, + а. + ... + а, +...
не отрицательны и существует Mm tfa~n = q, то при q < 1 этот ряд
сходится, а при я > 1 расходится. (При q = 1 признак Коши не дает возможности судить о поведении ряда.)
2 22 2й
О Пример. Ряд — + -=+ ... н + ... сходится, так как
1 1 я"
lim Wa^ = lim и— = lim = 0 < 1. •
Признак Даламбера. Если все члены ряда а. +а0 + ... + а +...
положительны и существует lim d, то при о* < 1 этот ряд схо»-»а„
дится, а при d > 1 расходится. (При я" = 1 признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда.)
3 З2 3"
О Пример. Ряд — н— + ...Н + ... сходится, так как
1! 2! л!
г ап+і у Зй+1/(л + 1)! 3 n , (
hm = lim —, = lim = 0 < 1. •
и->~ а„ и->~ Зй/л! и->~л + 1
Интегральный признак сходимости Ковш. Если ап = /(л), л = 1, 2, где /(л) — значение при х = л некоторой функции /(х), непрерывной, положительной и невозрастающей при х > 1, то ряд flj + а2 +... + ап +... сходится или расходится в зависимости от того,
*
существует или нет конечный Mm f(x)dx.
209
12 п
О Пример. Ряд =+ +... н + ...расходится, так как
1 + Г 1 + 22 1 + п2 х
функция fix) = ~ является положительной, непрерывной и
1 + х
невозрастающей при х > 1 и
lim fix)dx = Um f-^V = Urn [ln(l + b2) ln2] =
й-»+°о* 6-»+°°jl + x 2б->+~
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы