8.4. абсолютная и условная сходимость рядов

8.4. абсолютная и условная сходимость рядов

Числовой ряд

их + и2 + ... + ип +... (8.3)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

luj + и2 +... + ип +.... (8.4)

Абсолютно сходящийся ряд всегда сходится. Если сам ряд (8.3) сходится, а ряд (8.4) расходится, то говорят, что ряд (8.3) сходится условно.

Теорема Лейбница. Ряд

c1-c2 + c3-c4 + ... + i-l)"-icn + ...,

где все сп > 0, сходится, если последовательность {сп} невозраста-ющая и lim сп = 0.

В этом случае для остатка ряда справедлива оценка K\<cn+v « = 1,2,....

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов:

Г. Если ряд сходится абсолютно, то новый ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

2°. Если ряд сходится условно, то, какое бы число В ни взять, можно так переставить члены в этом ряде, чтобы сумма преобразованного ряда была равна именно В.

3°. Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены в этом ряде, что новый ряд будет расходиться.

210