8.5. сходимость функциональных рядов

8.5. сходимость функциональных рядов

Выражение вида

/г(х) +/2(х) +... +/й(х) +... = Х/„(х), (8.5)

л=1

где/j(x),^(x), ...,fn(x),... — некоторые функции, определенные на одном и том же множестве М, называется функциональным рядом.

Множество Q (Q с М) всех значений х, при которых функциональный ряд (8.5) сходится (как числовой ряд), называется областью сходимости этого ряда.

Функция S(x), х є Q является суммой ряда (8.5), если

S(x) = lim,S*„(x),

где Sn(x) =fl(x) +/2(х) +... +fn(x).

Если функция S{x), хе I(IcQ) является суммой ряда (8.5), то говорят, что функциональный ряд (8.5) сходится на множестве L к функции S(x).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции S(x), если для любого числа є > 0 существует номер N такой, что при п > N сразу для всех х є L выполняется неравенство

1эд-ад<е.

Если функциональный ряд сходится на множестве L, то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Если члены функционального ряда/х(х) +f2(x) + ... + fn(x) + ... удовлетворяют на множестве L неравенствам

|/й(х)|<сй (й-1,2,...),

где сп — члены сходящегося числового ряда сх + с2 + ... + сп +то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

_ _ _ sinx sin 2х sinnx

О Пример. Ряд —7zл ^— + ...Н ^—-... сходится на

1 2 и

L = ]-оо; +оо[ равномерно, так как всегда сходится. •

sin их

п2

1 " 1

< и ряд

i"2

211