8.6. функциональные свойства суммы ряда

8.6. функциональные свойства суммы ряда

Если функции/^*) непрерывны на [а, Ь], а составленный из них ряд/j(x) +f2(x) +... +fn(x) +... сходится равномерно на этом отрезке к функции f(x), то:

Г. функция f(x) на отрезке [а, Ь] непрерывна.

4 6 6 6

2°. J/(x)dx = jfix)dx + jf2ix)dx +... + fH(x)dx +....

a a a a

О Пример. Ряд l+x+x2 +... +x"~l +... на отрезке [0,1/2] сходится равномерно к функции . Тогда

V2 V2 V2 1~Х 1/2 V2 ^

j" 1 ■ dx + j xdx+ j x2dx + ...+ j xn~l ax +... = j ,

о о о о о *x

или

+ + + ... + + ... = ІП2. •

2 22 2 23 3 2nn

Если функции fjx) имеют непрерывные производные на отрезке [а, Ь] и на этом отрезке:

а) ряд /j(x) +/2(х) +... +/„(*) +... сходится к функции Дх);

б) ряд/^(х) + f'2ix) + ... + f'nix) + ... сходится равномерно,

то Дх) имеет на [а, Ъ] непрерывную производную и

fix) =f[ix) +f'2ix) +... +ф) + ... .