8.8. разложение функций в степенные ряды

8.8. разложение функций в степенные ряды

Если функция fix) имеет производные всех порядков при х = с, то степенной ряд

№ + ^р(х с) +... + J—Р(х с)" +... (8.7) 1! и!

называют рядом Тейлора для функции /(х). При с = 0 ряд (8.7) называют рядом Маклорена.

Для того чтобы ряд (8.7) сходился к функции f{x), необходимо и достаточно, чтобы

ШпДДх) = О,

И->°о

где ад = (*~ci"*V"+1)<c + е<* " с»> о < е < і.

in +1)!

214

Таблица разложений в степенной ряд некоторых функций

1

0С ОС ОС v

+ — + — + ... + — + ... = е , -°°<х<+°°; 1! 2! л!

Y Y^ Y^ y2w+l

+ ... + (-1) + ... = srnx, -°°<х<+°°;

1! 3! 5! (2л+ 1)!

X2 х4 X2"

1 + ... + (-1)" + ... = COSX, -оо<Х<+оо;

2! 4! V ' (2л)!

х3 х5 х2й+1

х—+ — -... + (-1)" ^—j-y +... = arctgx, |х| < 1;

х_lL + lL_f^ + „. + —+ ... = ln(l + x), -1<х<1;

2 3 4 v ' л v '

, /и(/и-1) 2 /я(яі-1)---(яг-я + 1) „ „ .m

1 + mx + — -x +... + — — -x +... = (1 + x) ,

2! л! v ' '

|x|<l.