Раздел ix методы оптимизации 9.1. оптимизационные задачи
Раздел ix методы оптимизации 9.1. оптимизационные задачи
Пусть /(х) — функция, определенная на множестве V, a Q — некоторое подмножество множества V.
Оптимизационная задача задается тройкой (К, /, Q). При этом функция /(х) называется целевой функцией, a Q — допустимым множеством (множеством допустимых решений) оптимизационной задачи.
Оптимизационные задачи бывают двух типов: задачи минимизации и задачи максимизации. Задача минимизации (максимизации) (V, /, Q) состоит в отыскании наименьшего (наибольшего) значения целевой функции /(х) на допустимом множестве Q.
Для того чтобы решить задачу минимизации (максимизации) (V, /, Q), достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать х0 є Q такое, что /(х0) < /(х) (/(х0) > /(х)) при любом х є Q.
Оптимизационная задача называется неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача минимизации (максимизации) (V, /, Q) будет неразрешимой, если целевая функция /(х) не ограничена снизу (сверху) на допустимом множестве Q.
Решить оптимизационную задачу — значит либо найти ее оптимальное решение, либо установить неразрешимость этой задачи.
Любая задача максимизации (V, /, Q) сводится к задаче минимизации (V, -/, Q); эти задачи либо обе неразрешимы, либо имеют одно и то же оптимальное решение.
Две задачи минимизации (максимизации) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество допустимых решений и на любом допустимом решении значения целевых функций этих задач совпадают. Эквивалентные оптимизационные задачи либо обе неразрешимы, либо имеют одно и то же оптимальное решение.
Задачи (V, f, Q) и (V, /' Q) имеют одни и те же оптимальные решения, если при любом х є Q справедливо равенство
220
f'(x) = ХДх) + Ц,
где А,, ц. — некоторые числа и X > 0.
Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции, так и от строения допустимого множества Q.
Методы решения оптимизационных задач, в которых целевая функция является функцией и переменных, часто называют методами математического программирования. (Термин «программирование» в данном случае обусловлен тем, что в задачах ищется некоторая программа действий). В математическом программировании традиционно выделяют следующие основные разделы:
линейное программирование;
целочисленное программирование;
выпуклое программирование.
Методы решения оптимизационных задач, в которых целевая функция представляет собой функционал на некотором множестве функций или вектор-функций, рассматриваются в вариационном исчислении и в теории оптимального управления.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы