9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании
9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании
Как правило, если исходная задача имеет определенный содержательный смысл, то и двойственная ей задача имеет естественную интерпретацию. При этом теоремы двойственности также получают содержательную трактовку.
Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Имеется т видов ресурсов в количестве bv b2, bm единиц соответственно. Известно, что на основе этих ресурсов можно выпускать продукцию п различными способами. При этом за единицу времени использования у'-го способа (у =1, 2,п) расходуется а у единиц /-го ресурса (/ = 1, 2,т) и выпускается продукция, обладающая ценностью с. единиц. Как же оценить имеющиеся ресурсы в зависимости от возможностей нашего производства?
Производственную программу в данном случае можно охарактеризовать вектором а = (хр х2,хп), где Xj — время использования у'-го способа производства, причем
я
^ayXj <b„ / = 1,2,...,т,
j=i
Xj^O, у'=1,2, ...,л.
Пусть /(ос) — ценность продукции, выпущенной при использовании производственной программы а. Тогда
л
/(ос) = Хсу*у
Если у. — некоторая оценка единицы ресурса /-го вида (/ = 1,
' т
2, т), то величина ^ауУі будет оценкой всех ресурсов, расхо-і=і
дуемых в единицу времени при использовании у-го способа производства. Эта величина не может быть меньше ценности выпущенной при тех же условиях продукции. (Иначе часть ценности выпускаемой продукции возникает из «ничего»). Следовательно,
242
X^-C/' j = 1,2,...,п, yt>0, i=l,2,...,m.
Величина
m
ф(Р) = Х*л
«=i
является оценкой всех имеющихся ресурсов при векторе оценок
P = (Vi» -,УР ->Уп)Для любой производственной программы ос и при любом векторе оценок р выполняется неравенство
Да)<ф(Р),
т.е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов (см. свойство Г п. 9.9). Значит, величина
Д(ос, Р) = ф(Р)-/(ос)
характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и от выбранных оценок ресурсов.
Производственную программу и вектор оценок следует выбирать так, чтобы величина потерь была наименьшей. Для этого достаточно производственную программу а подобрать так, чтобы /(ос) было как можно больше, а вектор оценок р взять таким, чтобы ф(Р) было как можно меньше.
Получаем симметричную пару взаимно двойственных задач:
п т
f = ^CjXj(max), ф = £б,уДтіп),
j=i 1=1
л т
^OyXj < bt, і = 1,2,т, Х°уИ CJ> J = І5 2' -'
7=1 /=1
Xj>0, j = 1, 2, ...,и; >>.>0, /= 1, 2,т.
Из первой теоремы двойственности (см. п. 9.10) следует, что при оптимальной производственной программе и при оптимальном векторе оценок ресурсов производственные потери равны 0.
243
Из второй теоремы двойственности в данном случае следуют такие требования на оптимальную производственную программу а0 = (х,°,х°,х°) и оптимальный вектор оценок р° = (у?, ...,у°,
г
П
(9.37)
если уі > О, T0Xflr*7
7=1
п
если Ха?*° < ьі> то у? = °;
7=1
= с/>
от
(9.38)
ЄСЛИ > 0, Т0ХагУ^
т
если ^fl^0 > cj> ТОЛ7 О(=1
Условия (9.37) можно интерпретировать так: если оценка у. единицы ресурса /-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью, если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна 0.
Из условий (9.38) следует, что если у'-й способ используется в производстве, то он в оптимальных оценках неубыточен, если же у'-й способ у б ы т о ч е н, то он в производстве не используется.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы