9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании

9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании

Как правило, если исходная задача имеет определенный содержательный смысл, то и двойственная ей задача имеет естественную интерпретацию. При этом теоремы двойственности также получают содержательную трактовку.

Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Имеется т видов ресурсов в количестве bv b2, bm единиц соответственно. Известно, что на основе этих ресурсов можно выпускать продукцию п различными способами. При этом за единицу времени использования у'-го способа (у =1, 2,п) расходуется а у единиц /-го ресурса (/ = 1, 2,т) и выпускается продукция, обладающая ценностью с. единиц. Как же оценить имеющиеся ресурсы в зависимости от возможностей нашего производства?

Производственную программу в данном случае можно охарактеризовать вектором а = (хр х2,хп), где Xj — время использования у'-го способа производства, причем

я

^ayXj <b„ / = 1,2,...,т,

j=i

Xj^O, у'=1,2, ...,л.

Пусть /(ос) — ценность продукции, выпущенной при использовании производственной программы а. Тогда

л

/(ос) = Хсу*у

Если у. — некоторая оценка единицы ресурса /-го вида (/ = 1,

' т

2, т), то величина ^ауУі будет оценкой всех ресурсов, расхо-і=і

дуемых в единицу времени при использовании у-го способа производства. Эта величина не может быть меньше ценности выпущенной при тех же условиях продукции. (Иначе часть ценности выпускаемой продукции возникает из «ничего»). Следовательно,

242

X^-C/' j = 1,2,...,п, yt>0, i=l,2,...,m.

Величина

m

ф(Р) = Х*л

«=i

является оценкой всех имеющихся ресурсов при векторе оценок

P = (Vi» -,УР ->Уп)Для любой производственной программы ос и при любом векторе оценок р выполняется неравенство

Да)<ф(Р),

т.е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов (см. свойство Г п. 9.9). Значит, величина

Д(ос, Р) = ф(Р)-/(ос)

характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и от выбранных оценок ресурсов.

Производственную программу и вектор оценок следует выбирать так, чтобы величина потерь была наименьшей. Для этого достаточно производственную программу а подобрать так, чтобы /(ос) было как можно больше, а вектор оценок р взять таким, чтобы ф(Р) было как можно меньше.

Получаем симметричную пару взаимно двойственных задач:

п т

f = ^CjXj(max), ф = £б,уДтіп),

j=i 1=1

л т

^OyXj < bt, і = 1,2,т, Х°уИ CJ> J = І5 2' -'

7=1 /=1

Xj>0, j = 1, 2, ...,и; >>.>0, /= 1, 2,т.

Из первой теоремы двойственности (см. п. 9.10) следует, что при оптимальной производственной программе и при оптимальном векторе оценок ресурсов производственные потери равны 0.

243

Из второй теоремы двойственности в данном случае следуют такие требования на оптимальную производственную программу а0 = (х,°,х°,х°) и оптимальный вектор оценок р° = (у?, ...,у°,

г

П

(9.37)

если уі > О, T0Xflr*7

7=1

п

если Ха?*° < ьі> то у? = °;

7=1

= с/>

от

(9.38)

ЄСЛИ > 0, Т0ХагУ^

т

если ^fl^0 > cj> ТОЛ7 О(=1

Условия (9.37) можно интерпретировать так: если оценка у. единицы ресурса /-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью, если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна 0.

Из условий (9.38) следует, что если у'-й способ используется в производстве, то он в оптимальных оценках неубыточен, если же у'-й способ у б ы т о ч е н, то он в производстве не используется.

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.