10.5. ситуации равновесия в матричных играх

10.5. ситуации равновесия в матричных играх

Дана матричная игра Г с платежной матрицей А = (а^)тхп. В матричной игре Г первый игрок выбирает некоторую строку матрицы А, а второй игрок — некоторый столбец этой матрицы. При этом если первый игрок выбрал і-ю строку, а второй игрок — у'-й столбец, то второй игрок уплачивает первому игроку ау единиц выигрыша (г' = 1, 2,m;j= 1, 2,и).

Ситуация(i0,у'0)является ситуацией равновесия вмат-ричной игре Г тогда и только тогда, когда для всех і = 1, 2, m и для всеху'= 1, 2,п выполняются неравенства

д.. < д. . < д. .. »0 ~ Wo W

В этом случае число является ценой матричной игры Г. Если (/„, у0) — ситуация равновесия в игре Г, то первый игрок, применяя чистую стратегию /„, обеспечивает себе выигрыш, не меньший цены игры atja. С другой стороны, второй игрок, применяя чистую стратегию у'0, не проиграет больше .

Матричная игра Г имеет хотя бы одну ситуацию равновесия тогда и только тогда, когда

max(mina,,) = mm (max а,,).

\<i<m l<j<n 1 l<j<n \<i<m J

291

Чистые стратегии г'0 и у0 соответственно первого и второго игроков являются оптимальными чистыми стратегиями этих игроков, если (г'0, j0) — ситуация равновесия в матричной игре Г.

Чтобы найти оптимальные чистые стратегии в матричной игре, можно поступить следующим образом:

• в каждой строке матрицы А выбрать по наименьшему элементу:

mm о,,, mm о,,,

\<j<n LJ \<j<n 11

1< }<п

• вкаждом столбце матрицы А выбрать по наибольшему элементу:

max a,,, max а,,,

max а,,

1Шт "•

если

1<і<т

mm а,, = max а

1< ]<П

то i0 и у0 — оптимальные чистые стратегии соответственно первого и второго игроков.

О Пример 1. Дана матричная игра Г с платежной матрицей

А =

8

10

10 9

3 14 5 6

4 8

5^

7

12 у

Тогда

V

1<У<5

1<У<5

minajy 2, mina2/ 5, mina3/ = 4:

1< 7<5

max а,,

1<1<3

10, max ап 10, max а,, 5, maxa,4 14, max a,s 12.

i<i<3 \<,і<,г і^з isis3

Так как min а,, = max а,, = 5, то оптимальные чистые стратегии

ujuS 1 1<г<3 "

игроков »0 = 2,j0 = 3. Цена игры равна 5. •

О Пример 2. Матричная игра Г с платежной матрицей

'3 7 2^

А =

2 9 2 3

не имеет оптимальных чистых стратегий, так как

max(mina,,) = 2, a min (max а,,) = 3. •

1<j<3 1<У<3 * 1<у<3 1<(<3 *

292

10.6. Стратегическая эквивалентность бескоалиционных игр

Даны две бескоалиционные игры г лиц:

r = {Sv Sk,Sr, H[(s),H'k(s),H'r(s)},

T" = {SV Sk,Sr, H[Xs),H'k{s),H'£s)}

с одинаковыми множествами чистых стратегий игроков.

Игры Г' и Г" называются стратегически эквивалентными, если существуют число / > 0 и числа Ск (к = 1, 2,г) такие, что для люг

бой ситуации s = (sx,sk,s) є S = YSk имеют место равенства

k=l

Hk(s) = lH'kXs) + Ck, k=,2,...,r.

В частности, любая бескоалиционная игра с постоянной суммой стратегически эквивалентна игре с нулевой суммой.

Матричная игра с платежной матрицей А = (Од)тхп стратегически эквивалентна матричной игре с платежной матрицей А (а~+к)тхп, где к — некоторое число.

Основное свойство стратегически эквивалентных игр: стратегически эквивалентные бескоалиционные игры имеют одни и те же ситуации равновесия.