10.10. классические кооперативные игры

10.10. классические кооперативные игры: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

10.10. классические кооперативные игры

Пусть К — некоторое конечное множество. Элементы множества Сбудем называть игроками.

Функция v, определенная на множестве всех подмножеств множества К, называется характеристической функцией множества К, если v(0) = 0 (0 — пустое множество).

Если v — характеристическая функция множества игроков К, то каждому подмножеству Q множества ^поставлено в соответствие число v(Q), равное выигрышу, который могут получить игроки множества Q, действуя совместно.

Характеристическая функция v множества К называется супераддитивной, если для любых непересекающихся подмножеств Pt&Q множества К

v(PuQ)>v(P) + v(Q).

Любое подмножество множества игроков К называется коалицией игроков. В частности, можно говорить о пустой коалиции,

301

о коалиции, состоящей из одного игрока, и т.д. Если множество К состоит из г игроков, то эти игроки могут образовать 2Г различных коалиций.

Свойство супераддитивности характеристической функции означает, что суммарный выигрыш непересекающихся коалиций Р и Q не превосходит выигрыша, который могли бы получить игроки, объединившись в коалицию PuQ.

Если имеется супераддитивная характеристическая функция v некоторого конечного множества К, то говорят, что задана классическая кооперативная игра Г = {К, v).

О Пример 1. Пусть К — конечное множество, а Ь — некоторое число. Чтобы задать характеристическую функцию v множества К, достаточно для любого подмножества Q множества К положить

v(Q) = Q-b,

где Q — число элементов множества Q. Характеристическая функция v супераддитивна, так как для любых двух непересекающихся подмножеств Р и Q множества А" имеет место равенство

v(Pu0 = v(P) + v(Q).«

О Пример 2. Имеется множество ^4 = {av а(,«,} продавцов некоторого товара и множество В = {bv b},bm} покупателей этого товара.

Продавец д. (i = 1, 2, /) может продать х. единиц товара, а покупатель А. (у = 1, 2, т) собирается приобрести у. единиц этого товара.

Супераддитивную характеристическую функцию множества К = А и В можно задать, если для каждого подмножества Q множества К положить

v(Q) = mini £ х,., £ уЛ.т

і j

О Пример 3. Дана конечная бескоалиционная игра г лиц

Г = {Sv Sk,Sr, H,(s),Hk(s),Hr(s)}.

Можно считать, что K= {1, k, г) — множество игроков в игре Г. Если Q — некоторое подмножество множества игроков К, то любую ситуацию

302

г

s = (s1,...,sk,...,sr)sY[Sk

к=

можно представить в виде

s = (s,s),

где

sel[Sk, їє П Sk.

ksQ ksKQ

Если ПОЛОЖИТЬ

v(0= max (_ mm У Hk(s,s) «ПА " П 5*^е

Если дана некоторая кооперативная игра Г = {К, v}, то коалиция К, объединяющая всех игроков, может обеспечить себе выигрыш, равный v(K).

Основная задача в классической теории кооперативных игр — найти распределение выигрыша v(K), которое устраивало бы всех игроков.

Если все игроки кооперативной игры Г = {К, v} пронумерованы, то можно считать, что К= {1, 2,г). В этом случае выигрыш коалиции, состоящей из одного k-то игрока, будет равен v{k) (к = 1, 2,

г). Тогда

v(l) + ... + v(k) + ... + v(r)<v(K). Кооперативная игра Г = {^Г, v} называется существенной, если v(l) +... + v(k) +... + v(r) < v(K), и несущественной, если

v(l) +... + v(k) +... + v(r) = v(K).

10.11. Дележи в кооперативных играх, с-ядро

Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где К= {1, 2, г), a v — супераддитивная характеристическая функция множества К.

Предположим, что при распределении выигрыша v(K) между игроками k-й игрок (к = 1, 2,г) получил хк единиц выигрыша.

303

Тогда

*! + ...+хл+...+х,. = уСГ). (10.11)

Кроме того, естественно считать, что

v(k)<xk, k=l,2,...,r, (10.12)

т.е. при распределении выигрыша v(K) каждый игрок должен получить не меньше того, что он мог бы получить, действуя самостоятельно.

Любой вектор х = (xv хк,хг), удовлетворяющий условиям (10.11) и (10.12), называется дележом в кооперативной игре Г.

В несущественной игре Г = {К, v} имеется только один дележ х = (v(l),v(k),v(r)). В существенной игре различных дележей бесконечно много, причем любой дележ в этой игре имеет вид

х (v(l) + av v(k) + ак,v(r) + ar),

г г

гдеосл>0Д=1,2,...,г, = v(K)-^v(k).

k=l _ k=

Пусть x = (xv xk,xr) и у = (yv yk,yr) — дележи в кооперативной игре Г = {К, v}. Говорят, что дележ х доминирует дележ у, если существует коалиция Р с Этакая, что

£хк < v(P) и хк > ук приА: є Р.

к<=Р

Если дележ х доминирует дележ у, то среди игроков множества К найдутся такие игроки, которые заинтересованы в том, чтобы дележ у заменить на дележ х.

Множество дележей в кооперативной игре, каждый из которых не доминируется какими-либо другими дележами, называется с-ядром этой игры.

Если дележ х принадлежит с-ядру кооперативной игры, то среди участников этой игры нет игроков, заинтересованных в изменении этого дележа.

Для того чтобы дележ х = (xv ...,хк, хг) принадлежал с-ядру кооперативной игры Г = {К, v}, необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции Р с .^выполнялось неравенство

v(P)<^xk. (10.13)

кеР

304

О Пример. Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где

К={1,2, 3}, v(0) = v(l) = v(2) = v(3) = О, v({l,2}) = v({l,3}) = l/2, v({2,3}) = 2/3, v({l, 2, 3}) = 1.

Вектор x = (xv x2, x3) является дележом в игре тогда и только тогда, когда

Х-^ ~~ х^ ~ь х^ — 1,

xt > 0, і = 1,2,3.

Для того чтобы вектор х = (xv х2, х3) принадлежал с-ядру игры Г, необходимо и достаточно, чтобы

Х-^ ~Ь Х<2 ~г" Х^ — lj

хх + х2 ^ 1/2,

• Ху + х3> 1/2,

х2 + х3 > 2/3,

X, >0, / = 1,2,3.

В частности, векторы х = (1/4; 2/3; 1/12) и х2 = (0; 1/2; 1/2) принадлежат с-ядру игры Г. •

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

10.10. классические кооперативные игры: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.