10.12. л-ядро кооперативной игры
10.12. л-ядро кооперативной игры
Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где К= {1, 2, г), a v — супераддитивная характеристическая функция множества К.
Если Ху = (Ху, —,хк, .... хг) — некоторый дележ в игре Г, то для любой коалиции Р с К можно рассмотреть число
1(Р,х) = у(Р)-^хк,
которое называется эксцессом.
Непустые коалиции игроков Ру, Р2,Р2г_у можно расположить в порядке убывания эксцессов:
Щ,х) > 1(Р2,х) > ... > КРГ1,х).
В этом случае вектор
l(x) = (ly(x),l2(x), lir_j(x)),
где lk(x) = l(Pk, x), k = 1, 2, 2r 1, называется вектором эксцессов.
Для любого дележа х существует, и притом единственный, вектор эксцессов 1{х).
305
Говорят, что вектор эксцессов 1(х) лексикографически больше вектора эксцессов 1{у), если выполняется одно из следующих условий:
'i(x) > h(y),
= AGO. hi*) > Ш)>
= h(y),.... lk(x) = lk(y), lk+i(x) > lk+1(y).
Дележ x называется п-ядром кооперативной игры Г = {К, v}, если вектор эксцессов 1{х) лексикографически меньше любого другого вектора эксцессов.
Основные утверждения о л-ядре кооперативной игры:
Г. Для каждой кооперативной игры существует, и притом единственное, и-ядро.
2°. Если с-ядро кооперативной игры Г не пусто, то и-ядро этой игры содержится в с-ядре.
л-ядро кооперативной игры Г = {К, v} можно найти, решив ряд последовательных задач линейного программирования.
О Пример. Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где
К= {1, 2, 3}, v(0) = v(l) = v(2) = v(3) = О,
v({1,2}) = v({1,3}) = 1/2, v({2,3}) = 2/3, v({l, 2, 3}) = 1.
Векторы x (1/4; 2/3; 1/12) и у (0; 1/2; 1/2) являются дележами в игре Г. Соответствующие эксцессы приведены в табл. 10.2.
Тогда
1(х) = (1/6; 0; -1/12; -1/12; -1/4; -5/12; -2/3), /(Я = (0;0;0;0;-1/3;-1/2;-1/2).
Вектор эксцессов 1(х) лексикографически больше вектора эксцессов 1(у), так как 1/6 > 0.
Нетрудно проверить, что у = (0; 1/2; 1/2) является л-ядром в кооперативной игре Г. •
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы