Раздел xii интерполяция 12.1. задача интерполяции

Раздел xii интерполяция 12.1. задача интерполяции

Задачей интерполирования является построение такой функции, которая для данных значений аргумента принимала бы данные значения. Пусть для значений аргумента х0, xv х2,хп, которые называются узлами интерполяции, вычислены значения некоторой функции Дх):

f(x0)=y0' f(x1)=y1, f(xn)=yn.

Требуется построить функцию F(x) (интерполирующую функцию), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и /(х), т.е. такую, что

F(x0)=y0, F(Xl)=yv F(xn)=yn.

333 12.2. Конечные разности

Пусть функция у f(x) задана в точках х. = х„ + kh (где h постоянная, к — целое). Тогда

Ау, = А/;.=/(х/+1)-Лхг.)

называются конечными разностями первого порядка.

Разности первых разностей образуют конечные разности второго порядка и обозначаются

A2yt = A2ft = AfM Aft =f(xi+2) 2f(xi+l) +/(*.).

Так же определяются и конечные разности более высоких порядков:

A^A^A^-A""!/;.

Индексы при Ау берутся те же, что и индексы у вычитаемых, т.е. вторых членов разностей.

Конечные разности различных порядков располагают в форме таблиц двух видов: горизонтальной (табл. 12.1) или диагональной (табл. 12.2).

Вычисления разностей следует прекращать, если все числа некоторого столбца оказываются почти равными между собой

334

(«разности постоянны»). Разности к-то порядка постоянны для многочлена к-й степени. Поэтому приблизительное их постоянство показывает, что данная функция может быть с достаточной точностью изображена многочленом к-й степени.