12.3. интерполяционная формула лагранжа
12.3. интерполяционная формула лагранжа
Пусть поставлена задача о построении функции такой, что L(xk) = f(xk), к=0, 1, 2, п. Часто такие функции строят в виде обыкновенных многочленов
L(x) = aQ + аух + ар2 +... + а^х".
Чтобы найти коэффициенты а. интерполирующего многочлена возможно низшей степени, принимающего в точках х0, xv хп заданные значения, нужно решить систему уравнений относительно а:.
\% + 0Л> + «2*0 + + апхо = Уо> а0 + ауХу + OjXj2 +... + апх" уи я0 + ахх2 + ajxl +... + апхпг = у2,
(12.1)
а0 + аххп + с^х2 +... + апхпп = уп,
теу(=Дхг) (г = 0, 1, 2,л).
Многочлен, коэффициенты которого определяются из системы (12.1), называется интерполяционным многочленом Лагранжа Ln(x) для функции f(x) и может быть записан в виде
L ф = у (.x-x0)(x-x1)--ix-xi_1Xx-xi+ly-jx-xn) Интерполяционная формула Лагранжа при я = 2 имеет вид
т ,y4 _ v (Х-Х1)(Х-Х2) (Х-Х0)(Х-Х2)
^2Х) SO , ч/ ч + Уі / ч/ ч +
хо — *і)(*о — х2) (*1 — Х0)(Ху — х2)
+ У2
(x-x^jx-xj
{Х2 — Xq)(x2 — Ху)
335
при я = 3 формула имеет вид
т . . (х-х,)(х-х2)(х-х3) (х-х0)(х-х2)(х-х3)
Щх) = у0 — — — — + ух — — — — +
(х0 — х1)(х0 — x2)(xQ — х3) (xj — х0)(х1 — X2)(Xj — х3)
(х-х0)(х-х1)(х-х3) (х-х0)(х-х1)(х-х2) (х2 — х0)(х2 — Xj)(x2 — х3) (х3 — х0)(х3 — Xj)(x3 — х2)
О Пример. Построить многочлен наименьшей степени, принимающий в точках х0 = 1, х1 = 3, х2 = 6 значения функции у0 = 10,
^ = 16,^ = 4.
Подставляя данные значения в интерполяционную формулу L2(x), имеем
^V а-з)о-6) (з-1)(з-б) (6-1X6-3)'
Z2(x) = 2,8-8,6x-l,4x2. •
Заметим, что если функция/(х) задана аналитически и имеет в рассматриваемом интервале достаточное число непрерывных производных, то погрешность, получающаяся от замены /(х) интерполяционным многочленом Лагранжа, равна
/(X) ых) = (*-*0)(*-*l)-(*-*„)
(и +1)!
где І; — некоторое промежуточное значение между наибольшим и наименьшим из чисел х, х0, xv хи.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы