12.4. интерполяционные формулы ньютона
12.4. интерполяционные формулы ньютона
В том случае, когда интерполяционные узлы находятся на равном расстоянии, опираясь на понятие конечных разностей, интерполяционный многочлен можно найти по формуле
Рп(х) = У0 + qAy0 + ^^А + ...+ ^-1)~<?-П + 1)А»у0, (12.2)
где q = (х х0)/л. Здесь й = х.+1 х. — шаг заданной таблицы значений/(х).
336
Формула (12.2) называется интерполяционной формулой Ньютона, ее используют для интерполирования при значениях аргумента, расположенных в начале таблицы.
При п = 1 имеем формулу линейного интерполирования
а при и = 2 — формулу квадратичного интерполирования
У = Уо + ^ЇГ^* *о) + У2~2Л + У°(х х0)(х ху). п 2п
Погрешность приближения функции интерполяционным многочленом Ньютона (12.2) степени и вычисляют по формуле
An+1v
ад = f{x) Р„(х) —^q(q D-(q п). (12.3) (Я +1)!
В частности, для линейной интерполяции (и = 1) формула погрешности (12.3) имеет вид
ад«^<7(<7-і).
Для интерполирования в конце таблицы удобно использовать вторую формулу Ньютона, а именно:
Р„(х) = У„ + <7ЛЛ-1 + Л V2 +
+ *д + № + 2)АЗу^ + + g(g + + 2)-(g + я -1) д,уо- (12 4)
При применении формулы Ньютона (12.2) удобнее использовать горизонтальную таблицу разностей (см. табл. 12.1), в этом случае необходимые значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.
Для формулы (12.4) составляют диагональную таблицу разностей (см. табл. 12.2).
Если из таблицы разностей будет обнаружено, что к-е разности функции для равноотстоящих значений аргумента постоянны, то интерполяционную формулу Ньютона (12.2) можно использовать в качестве эмпирической формулы, а вычисление разностей прекратить.
337
О Пример 1. Построить эмпирическую формулу для функции у, заданной таблицей:
xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Уі | 13 | 20 | 26 | 31 | 35 |
Как видим, вторые разности А2у постоянны. Используя интерполяционную формулу Ньютона (12.2) и учитывая, что в данном примере h = 1, q = х, имеем
у = 13 + 7х-*(*~1), или 13 + 7,5х-0,5х2=у. •
О Пример 2. Найти с точностью до Ю-5 значения функции у при х = 1,05 и х = 1,25, если известно, что
X, | 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 |
Уі | 0,84147 | 0,89121 | 0,93204 | 0,96356 |
338
Так как х = 1,05 находится между 1 и 1,1, т.е. в начале табл. 12.4, то воспользуемся первой формулой Ньютона (12.2).
В данном случае h = 0,1, xQ = 1, х=1,05, q= (x-x0)/h = 0,5. Далее имеем
у = 0,84147 + 0,5 • 0,04974 + °'5^ ~ ^ (-0,00891) +
+ 0'5(0'5-р(°'5-2)(-0,00040) = 0,867429, 6
у(1,05) = 0,86743.
Определим теперьу(1,25). Таккакх= 1,25 заключено между 1,2 и 1,3, т.е. находится в конце таблицы, то для вычислений пользуемся второй формулой Ньютона (12.4). Таблицу конечных разностей в этом случае удобнее записывать в виде диагональной таблицы (табл. 12.5).
Таблица 12.5
X | У | Ау | А2у | А3у |
1 1,1 1,2 1,3 | 0,84147 0,89121 0,93204 0,96356 | 4974 4083 3152 | -891 -931 | -40 |
В данном случае h = 0,1, х0 = 1,3, х = 1,25, q= (х-xQ)/h = -0,5. Далее имеем
у(1,25) = 0,96356 0,5 • 0,03152 + ~°'5(~°'5 +^(-0,00931) +
+
-0,5(-0,5 + 1)(-0,5 + 2)
(-0,00040) = 0,948989,
у(1,25) = 0,94899.
12.5. Интерполяционные формулы Стирлинга и Бесселя
При интерполировании значений функции, находящихся в середине таблицы, для значенийх, близких кхк, используют:
формулу Стирлинга приq\< 0,25;
формулу Бесселя при 0,25 < q < 0,75.
339
В этом случае исходное значение функции обозначают через у0 и считают индексы вниз и вверх от нуля, как показано в табл. 12.6.
Таблица 12.6
Индекс | X. | Уг | Ау | А2у | д3у | A5j> | A6y | A7y | aV | |
-4 | У^ | |||||||||
-3 | х_3 | У-ъ | ду-з | A3J_4 | ||||||
-2 | Х-2 | У-2 | *У-2 | а2у_3 | A3J_3 | A4JU | A5^ | |||
-1 | х-1 | У-1 | Av-i | а2у_2 | ^У-2 | AV_3 | A6J_4 | A7JU | ||
0 | хо | Уо | АУ0 | AV_! | а3У_! | A5y_2 | aV3 | aV3 | A8y_4 | |
1 | х1 | Уі | аЧ | a | av_! | aV_2 | ||||
2 | Х2 | У2 | А>>2 | а | A3^ | |||||
3 | хъ | Уз | *Уз | |||||||
4 | Х4 | Уа |
Формула Стерлинга имеет вид
_. . Ay, + Ау0 q2 . 2 q(q2 -1) A3y_2 + А3 у,
P(x) = y0 + q l2 0 + у a 2y_x + *v*3! ^ 22 ^ 1 +
+
-A>_2 + 5!
gV-DA4,. , g(g2-l)(g2-22) A5j;_3+AV2
4!
+
+ gV-l)(g2-22) 6
6! У~ъ , q2(q2-l)(q2-22)-(q2-(n-l)2) 2
■ T .... ii ,
(2л)!
где# = (х-х0)/й. 340
Формула Бесселя имеет вид
Уо+Уі
g(g-l) А2з;_1 + А2у0
Р(х) = ^-^+ q-Ау0 +
2 2 J z z
(g-l/2)g(g-l)A3 g(g-l)(g + l)(g~2) AVa + AVt
З! 1 4! 2
(g-l/2)g(g-l)(g + l)(g-2) 5
5! 2 g(g2 l)(g2 22)(g 3) A6y_3 + A6y_2 6! 2 , g(g2 ~D(g2 -22)-• -(g-n)(q + П-Ї) A2ny_n + а2"у_и+1 ; (2и)! 2
(g l/2)g(g2 l)(g2 22)■ -(g n)(q + n -1) 2и+1 (2л+ 1)!
rfleg = (x-x0)/A.
При g = 1/2 формула Бесселя значительно упрощается и называется формулой интерполирования на середину:
р(х) = Уо+Уі _ I а2у_! + а2у0 J_ а4у_2 + A4y_t _
2 8 2 128 2
5 аУ3+А6у_2 | ^
1024
„ [13 5-(2и-1)]2 А2пу_п + А2"у_п+1 22й(2л)! 2
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы