13.3. теоремы сложения и умножения вероятностей

13.3. теоремы сложения и умножения вероятностей

В задачах, использующих вероятностные количественные характеристики, приходится по вероятностям одних событий оценивать вероятности других событий. Для этого применяют различные соотношения, в основе которых лежат теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий Ах, А2, Ап равна сумме вероятностей этих событий:

ДІ4) = І>(4)І=1 1=1

Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице:

І>(4) = і347

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).

Если появление одного из событий не меняет вероятности появления другого, то события называются независимыми.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого события:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Если рассматривается более двух событий, то формула вероятности произведения событий Av А2,Ап имеет вид

Р(АХА2 Ап_хАп) = P(Al)P(A2/Al)P(.A3/AlA2) -PiAJA^.A^),

где Р{А2/А^) — вероятность события А2 при условии, что имело место событие Ау ...; P(AJAxA2...An_^) — вероятность события^ при условии, что имели место события Av А2,A v

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ).

В случае трех и более событий вероятность их суммы обычно определяется по формуле

Р(А + В +... + М) = 1 Р(АВ-М),

где А, В, М — события, противоположные событиями, В,...,М.

Если указанные события независимы, то последняя формула принимает вид

Р(А + В +... + М) = 1 Р(А)Р(В). ■ Р(М).

348

В случае равенства вероятностей всех событий, т.е. если Р(А) = = Р{В) =... = Р{М) р, имеем

Р(А + В +... + М) = 1 (1 -р)п,

где и — число событий.

13.4. Формула полной вероятности и формула Байеса

Если события Av А^,Ап образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть найдена по формуле полной вероятности как сумма произведений безусловных вероятностей указанных событий на условные вероятности события В:

P(B) = j^P(Ai)P(B/Ai). (13.1) г=і

В тех случаях, когда требуется определить вероятности событий Ах, А2,Ап при условии, что событие В уже произошло, используется формула Байеса:

Р(Ак/В)=

Хд4)Р(5Д.)

О Пример. На складе имеется 12 изделий, изготовленных на первом предприятии, 20 изделий — на втором и 18 изделий — на третьем предприятии. Вероятности качественного изготовления изделий на этих предприятиях соответственно равны 0,9; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что произвольно взятое изделие будет качественным.

Вероятности выбора изделия соответствующего предприятия таковы:

Р{А{) = 12/50, Р(А2) = 20/50, Р(АЪ) = 18/50.

Искомая вероятность находится по формуле (13.1):

12 20 1R

Р(В) = — • 0,9 + — • 0,6 + — • 0,9 = 0,78. •

v ' 50 50 50

349