13.5. распределение вероятностей события. формулы бернулли и пуассона
13.5. распределение вероятностей события. формулы бернулли и пуассона
Распределение вероятностей события А часто описывается формулой биномиального распределения (формулой Бернулли):
Pn(m) = Cymqnm, (13.2)
где Рп(т) — вероятность появления ровно т раз события А в серии из п опытов; С™ — число сочетаний из и элементов по т; р — вероятность появления события А в одном опыте; q = 1 -р.
О Пример. Предприятие выпускает телевизоры. Вероятность неисправности телевизора р = 0,01. Проверяется партия из пяти телевизоров. Определить вероятность того, что два из них будут неисправны.
На основании формулы (13.2)
Р5(2) = фУ = 2!(55^2)!(Ю-2)2(0,99)3 = 0,00097. •
При большом числе опытов вычисления по формуле (13.2) становятся громоздкими. Поэтому на практике обычно используют пуассоновское приближение к биномиальному распределению, точность которого увеличивается при увеличении числа опытов и уменьшении вероятности р. Оно задается формулой Пуассона:
Рп(т) = ^-е(13.3) ml
где А, — среднее значение числа появлений рассматриваемого события в серии опытов, представляющее собой произведение Х-пр.
О Пример. В условиях предыдущего примера определить вероятность того, что в партии из 200 телевизоров два неисправных. Здесь удобнее использовать формулу Пуассона (13.3):
*20о(2) = т£е- А, = 2, Р200(2) = !е-2=0,27.«
Вероятность появления т раз события А на заданном интервале времени / находят по формуле Пуассона, которая в этом случае принимает вид
350
P It) <*^е FJf) ml Є
-у
где X — интенсивность события, т.е. среднее число событий в единицу времени.
Ряд экономических задач сводится к так называемой «урновой схеме». Суть ее в следующем. В урне находится N шаров, из которых Af белых. Из урны извлекается и шаров. Требуется определить вероятность того, что среди них т белых шаров. Вероятность этого события определяется формулой
f-im (in-m
PM,NM = ^^.
О Пример. В магазин поступила партия, состоящая из 300 изделий. Известно, что 5 изделий имеют производственный дефект. Определить вероятность того, что при покупке 10 изделий будет обнаружено одно бракованное.
Общее число сочетаний из 300 по 10 изделий равно
ю 300! 300 290!-10!"
Число способов выбора из 5 бракованных изделий одного равно
5!
5 1!-4!"
Число сочетаний из 295 по 9 качественных изделий таково:
295 286!-9!"
9 _ 295!
и295 2
Находим вероятность
5' ■295' • 290' 10' Р5 300(1, 10) - • * • * • ' 0,147. • 5;30ov > 4!-286!-9! ■ 300!
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы