13.11. числовые характеристики векторных случайных величин

13.11. числовые характеристики векторных случайных величин

Наиболее важными числовыми характеристиками векторных случайных величин являются математические ожидания, дисперсии и ковариации их составляющих.

Основные свойства математических ожиданий случайных величин:

Г. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

M[X+Y]=M[X]+M[Y].

2°. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

м[ху] = м[хм[у].

В случае зависимых случайных величин математическое ожидание каждой из них определяется на основе условного распределения, которое, в свою очередь, выражается через совместное распределение этих величин.

Математическое ожидание случайной величины X, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием величины Zпри условии, что другие величины приняли определенные значения.

355

Для дискретной случайной величины

ЩХ/yj] = M[X/Y = yj] = f^x^/yj) = —f,xiPij,

і=і Pj i=i

ру = Р(Х=хр Y=y), prP(Y=y). Для непрерывных случайных величин

M[X/y] = -^-]xf(x,y)dx,

M[Y/x] = -±-]yf(x,y)dy.

Функция <p(j>) = M[X/y], которая ставит в соответствие каждому у условное математическое ожидание, называется функцией регрессии Хна Y.

Функция ф(х) = M[Y/x] называется функцией регрессии Y наХ.

Основные свойства дисперсий случайных величин:

Г. Дисперсия произведения случайной величины Хна постоянную С равна произведению дисперсии случайной величины X на квадрат постоянной:

D[CX] = C2D[X].

2°. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D[X1+X2 + ... +Xn]=D[X1]+D[X2] + ... +D[Xnl

Одной из важных числовых характеристик взаимосвязанных случайных величин является ковариация.

Коваршцией (корреляционным моментом) случайных величин X., X. называется число, равное математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин от их математических ожиданий:

Ку = МЩ МЩЩ МЩ), Для определения ковариации используется также формула Ку = М[Х^-МЩМЩ.

356

Ковариационной матрицей случайного вектора Х{Xv Х2,Хп) называется матрица К, элементами которой являются ковариа-ции К..:

12

К =

К.21 К'

2п

к.

п лхп2 ••• "-nnj

где ковариации Кп, К22, Кш представляют собой дисперсии случайных величин Хр Х2,Хп.

Определитель ковариационной матрицы называется обобщенной дисперсией.

Часто для определения меры связи случайных величин используется нормированная ковариация, называемая коэффициентом корреляции, который определяется по формуле

Ре

где а, ст. — средние квадратичные отклонения случайных величин

х(,хг

Корреляционной матрицей случайного вектора Х(Хр Х2,Хп) называется матрица, элементами которой являются коэффициенты корреляции:

Р21

ґ 1 Pl2 Pi/ 1 .» Р2п

R =

^Pnl Рл2

1

Корреляционная матрица является симметричной.