1.14. степени и корни

1.14. степени и корни

Если л — натуральное число, то п-я степень (а") некоторого действительного числа а (основания степени) определяется как произведение и сомножителей, равных а (а" = а ■ а — а). При этом число и называют показателем степени.

По определению, при любом а Ф 0 считают а0 = 1, а1 = а,

а~" =—. Например, 23 = 2 ■ 2 • 2 = 8; Тъ = = 1/8. а" 1 При любых натуральных показателях степени тил справедливы следующие равенства:

aman = ат+п; ат/ап = ат-п (а*0); (am)n = am";

(в-*)" = а"-*»; (**0).

Приведенные соотношения верны и при любых действительных показателях степени при а > 0, Ъ > 0.

Если а > 0 и л — натуральное число, то арифметическим корнем л-й степени из а называют единственное положительное число х такое, что х" = а. Обозначение корня: а1//и или \[а.

14

Корень второй степени из а (квадратный корень) принято обозначать 4а.

Если а О, то \[а 0.

Если а < 0, то корень и-й степени из а определяется лишь для нечетных и. В этом случае \[а есть единственное отрицательное число х такое, что х" а.

Например,Ш = 2,таккак24 = 16и2 > 0; $77 = 3; 3Уч54 = -4.

Если а > 0, т и п — натуральные числа, то, по определению, считают

ат/п = (flVT (ат)1/п; а^" = (аФО).

При этом имеют место следующие равенства:

ат,п = (4~а)т = ^ 4а~Ъ = ?Га4Ъ; ^ = Ц (6 * 0).

Для преобразования корней из целых чисел полезно подкоренное число разложить на простые множители. Например, V1156 =

= л/4 • 289 = V22 • 172 =2-17 = 34; 3/926Ї = #27 -343 = л/з3 ■ 73 = = 3-7 = 21.