14.10. метод наибольшего правдоподобия
14.10. метод наибольшего правдоподобия
Функцией правдоподобия называется функция
L(Q)=p(xvQ)p(x2, Q)-p(xn, Є),
где xv х2,хп — выборка, р(х., 0) — вероятности появления значения х. (для дискретной случайной величины) или плотности вероятностей (для непрерывной величины).
Векторный параметр 0 = (0р Э2,Qm) считается неизвестным.
На практике обычно используют логарифмическую функцию правдоподобия lnZ(0).
В качестве оценки 0* принимается такое значение параметра, при котором логарифмическая функция правдоподобия достигает максимума. Для этого используют необходимые условия экстремума функции многих переменных (см. п. 6.7).
378
Необходимые условия экстремума определяются уравнениями правдоподобия:
Э1пХ(9)
= 0 (у =1,2,..., да).
О Пример. Дана выборка хр х2,хп нормально распределенной случайной величины X. Необходимо оценить параметры 0j = Мх, 92 = а2. Находим частные производные логарифмической функции правдоподобия:
1
е 2о* =
(xi-Mxf 1 о„2
о\/2я
Щ) = —We 2о*
Cv/27t
f
Y -Лі(^-^х)2
2
е 2o*'=1 ;
^2\%а
InДв) = -£іп(2я) ^Іпа2 -Х(хг. Жх)2;
2 2 2<*х ,=і
дМх
эьде)
Эс2
°х 1=1
2<5І 2а
Приравнивая эти частные производные нулю, находим оценки параметров:
Щ = (а2хГ = ^(х(-хъ)2/п. •
і=і
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы