14.11. построение доверительного интервала

14.11. построение доверительного интервала

Методика построения доверительных интервалов для отдельных параметров зависит как от вида закона распределения, так и от знания значений остальных параметров этого закона.

379

Рассмотрим задачу построения доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии.

Пусть имеется нормально распределенная случайная величина с известной дисперсией ах. Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания Мх с заданной надежностью у.

На основании имеющейся выборки получаем точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней

1 "

/=1

которая является случайной величиной и при нормальном распределении составляющих выборки тоже распределена нормально:

(х-Мх)2

т = 1 с 2^й,

-/2л oxl"Jn

таккакМ[хв] Мх, ав ax/yfn.

Вероятность того, что случайная величина хв попадет в интервал ]МХ 8, Мх + 8[, находится по формуле

Мх+5

Р(МХ-Ъ<хв<Мх+Ъ) = J f(x)dx =

мх-ь

Мх+Ь J^ft 8^/ах

= * /r- f е 2а'/" dx = ^= e""2/2d« = уІ2ксх/^п MJx_5 ^-d/cx

= 0(8jn/ox) Ф(-8л/я/стх) = 2Ф(8 yfn/ox),

где и = ——, Ф(г) = }— е_и ^2 d« — функция Лапласа, обычно ах/1п l2nJ0

задаваемая таблично (см. Приложение 2).

Используя очевидное равенство

Р(МХ-8<Хв<Мх+д) = Р(ХВ-Ь<Мх<Хв+д)

и задавая значение этой вероятности (надежности) у, при известных значениях ах и п можно с помощью таблицы функции Лапласа получить вначале значение Ь4п/сх, а затем и 8.

380

О Пример. Определить доверительный интервал случайной величины для хв 5, п 4, ах 1 и уровня надежности у-0,954. Определяем значение функции Лапласа:

Ф(8л/й/ах) = у/2 = 0,477.

По таблице значений функции Ф(г) находим соответствующее

8 2

значение zВ данном случае = 2. Тогда 8 = 1.

Доверительный интервал (5 1; 5 + 1) = (4; 6). Следовательно, 4 < Мх < 6 с вероятностью 0,954. •

Часто требуется определять доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения нормального распределения ах по «исправленному» выборочному среднему квадратичному отклонению s с заданной надежностью у. Для этого используется формула

s s 1 + q х 1-д'

где q определяется на основе использования интегральной функции надежности, представленной в Приложении 3. Задавая значение надежности у и объем выборки п, по таблице указанного приложения можно получить значение q.

О Пример. Пусть для нормального распределения произведена выборка п = 25 и найдено s = 0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий ах с надежностью у= 0,95.

,т.е. (0,6; 1,18). •

По таблице Приложения 3 находим q = 0,32 и определяем дове-f 0,8 . 0,8 л

рительныи интервал:

1 + 0,32 1-0,32