14.12. статистические гипотезы и их проверка

14.12. статистические гипотезы и их проверка

При статистических исследованиях приходится на основе предварительного анализа выдвигать гипотезы о виде закона распределения случайной величины или о параметрах этого закона. Такие гипотезы называются статистическими.

После сбора и обработки статистической информации указанные гипотезы могут быть проверены.

381

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0, конкурирующей (альтернативной) — гипотезу i/j, которая противоречит основной.

Например, Н0: Мх=5, тогда Ну. Мх ф 5.

В результате проверки статистической гипотезы на основе статистической информации могут возникнуть ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Ошибку первого рода иногда называют а-риском, а ошибку второго рода — ^-риском. В большинстве случаев ошибка первого рода влечет за собой и ошибку второго рода.

Для проверки нулевой гипотезы вводят в рассмотрение специально подобранную случайную величину — статистический критерий (К), распределение которой известно. При этом обычно используются критерии с нормальным распределением, а также с распределениями «хи—квадрат», Стьюдента и Фишера.

Пустьxv х2,хп — независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда закон распределения суммы квадратов этих случайных величин

12=х2+х2 + ...+х2

называется законом «хи—квадрат» с п степенями свободы.

имеет распределение Стьюдента с п степенями свободы.

Пусть ху, х2, хп и Yy, Y2, Ym — независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математически 

382

ми ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

F =М

п,т т

имеет распределение Фишера — Снедекора спит степенями свободы.

Распределения всех этих величин рассчитаны и затабулированы (см. Приложения 4—6). Указанные распределения могут быть использованы для проверки гипотез о равенстве выборочного среднего и математического ожидания, для сравнения дисперсий двух случайных величин и т.п. При этом сначала задается уровень значимости а, т.е. вероятность того, что соответствующая случайная величина попадет в критическую область, выходящую за интервал принятия гипотезы (UL, к?) или односторонний интервал (0, к). На основании принятого уровня значимости и известного числа степеней свободы в соответствующих таблицах находят значение к^. Затем, используя статистические данные, подсчитывают наблюдаемое значение соответствующего критерия кК и сравнивают его с к :

если кИ > к , то нулевая гипотеза отвергается;

если кИ < к , то нулевая гипотеза принимается.