14.13. временные ряды

14.13. временные ряды

14.13.1. Основные понятия и определения

Большинство экономических задач связано с оценкой основных экономических показателей во времени и с прогнозом этих показателей на будущие моменты времени. Это значит, что основные экономические характеристики необходимо рассматривать как случайные функции.

Но так как статистика оперирует выборочными значениями показателей, то из случайных функций производится выборка в дискретные моменты времени. В результате получаются так называемые временньіе ряды.

383

Под временным рядом понимается последовательность наблюдений некоторого признака Хв различные, чаще всего равноотстоящие, моменты времени.

Если измерения проводятся в равноотстоящие моменты времени, то временной ряд можно представить в виде

х(1),х(2), ...,х(п) или xvx2,...,xn,

где п — общее число моментов измерения.

Временной ряд по сравнению с различными измерениями случайной величины обладает следующими особенностями:

члены временного ряда нельзя рассматривать в общем случае как статистически независимые случайные величины;

члены ряда не являются одинаково распределенными, т.е.

Р(Х(і) <х)Ф P(X(j) < х) при і Фj.

При изучении временного ряда в нем обычно выделяют неслучайную и случайную составляющие.

В свою очередь, неслучайная составляющая разбивается на три вида в зависимости от образующих ее факторов:

Долговременные факторы формируют общую длительную тенденцию изменения анализируемого признака. Она задается как монотонная неслучайная функция f^it) и носит название тренда.

Сезонные факторы образуют периодически повторяющиеся значения анализируемого признака. Соответствующая функция представляет собой периодическую функцию фс(0Часто эта составляющая связана с изменениями сезонов (времен) года.

Циклические факторы определяют известную цикличность условий измерений. Например, наблюдается цикличность солнечной деятельности, существуют демографические изменения в обществе и т.п. Соответствующую функцию обозначают через gn(t).

Несмотря на разный характер этих трех составляющих, во многих случаях их можно объединить и на их основе сформировать общую функцию тренда.

Случайная составляющая временного ряда собственно и придает временному ряду случайный характер.

Таким образом, в общем случае временной ряд представляют в виде

т=4(о+фс(о+яц(о+«ко, '=i,2,п, (14.1)

где е(0 — случайная составляющая, математическое ожидание которой обычно принимают равным нулю: М[е(0] = 0.

384

При объединении всех неслучайных функций в одну функцию тренда временной ряд принимает вид

x(t)=f(t) + e(t). (14.2)

Задачи исследования временного ряда включают в себя такие вопросы, как выделение функции тренда, корреляционный анализ выборочной автокорреляционной и взаимных корреляционных функций, построение прогнозных моделей и осуществление прогноза основных экономических характеристик.

14.13.2. Выявление тренда во временных рядах

Выявление тренда во временных рядах в значительной степени зависит от предварительного анализа рассматриваемых значений этого ряда и от анализа условий эксперимента.

В достаточно общем виде тренд временного ряда может быть представлен полиномиальной функцией

к

/(o = a0 + X«/» ' = 1,2,-,й (14.3) i=i

с подлежащими определению коэффициентами a0, ар ак.

Однако в этом случае имеет место линейная относительно параметров (коэффициентов) модель

к

У{=ао + Xа/ + Е" t = 1>2' 1=1

или

к

Уі=ао + ХаЛ + et> (I4-4)

i=i

гдехй = /г.

Эта модель включает в себя множественную линейную регрессию результирующей переменной Уна объясняющие переменные (см. п. 15.3.1), т.е. тренд.

Коэффициенты этой модели могут быть определены методом наименьших квадратов (см. п. 15.2).

Другим способом выделения неслучайной составляющей является использование так называемого скользящего среднего.

385

Разработано несколько методов скользящего среднего (МСС). В их основе лежит идея обработки значений временного ряда относительно некоторой рассматриваемой точки t. Если взять среднее арифметическое нескольких значений (т) временного ряда до и после точки t, то величина дисперсии случайных значений ряда относительно этого значения будет меньше, чем в данной точке с2/(2т).

Сглаженное значение f{t) временного ряда x(t) вычисляют по значениям x(tт), x(tт + 1), ...,x(t),x(t + 1), ...,x(t + m) на основании формулы

т

f(f)= X wkx(t + k), t = m + l,m + 2,...,n-m, (14.5)

k=-m

где wk — весовые коэффициенты, в сумме равные единице, т.е.

т

1^=1.

к=-т

Так как t меняется от т + 1 до п т, то происходит как бы скольжение функции тренда по оси времени. Отсюда и возникло название метода.

Методы скользящего среднего отличаются друг от друга выбором параметров т и wk. Обычно т выбирают не более трех.

В классических схемах сглаживания все обрабатываемые значения выбирают с равными весами, т.е. wk = l/(2m).

Более надежные результаты (особенно в моделях прогноза) дает метод экспоненциального взвешенного скользящего среднего (МЭВСС), или метод Брауна. В этом случае веса растут по мере приближения к рассматриваемой точке.

Идея метода Брауна состоит в следующем.

Имеются статистические данные значений временного ряда x(t), где /=1,2,п. По этим данным необходимо получить оценку fit) неслучайной составляющей ряда f(t) так, чтобы при получении оценки более поздние исходные данные принимались с б 6 л ь ш и м весом по сравнению с ранее полученными значениями ряда.

Выбирается оптимизационный критерий вида «(/) = XXk[x(t -k)f(t)]2 -> min,

к=0

где 0 < А. < 1. 386

По мере увеличения к происходит движение назад от значения члена ряда x{t) в данной точке t. При этом «невязки» (разности, стоящие в скобках) берутся с меньшими весами в начальных точках временного ряда.

Возьмем производную от критерия ос(/) по / и приравняем ее нулю

^ = -25>*М*-*)-/</)], ;£ = 0.

Получаем

Хх*х(/-л) = лоХа,*.

к=0 к=0

Правая часть последнего равенства представляет собой геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна

t-i і j( Откуда для оценки функций fit) имеем выражение

Из последнего выражения видно, что веса коэффициентов членов временного ряда, из которых формируется оценка неслучайной составляющей ряда fit), тем меньше, чем ближе эти члены к началу ряда.

14.13.3. Вычисление значений выборочных автокорреляционных функций

В некоторых задачах исследования временных рядов бывает необходимо оценить автокорреляционную функцию. Это может быть связано с выбором числа членов ряда, подлежащих обработке при получении основных характеристик ряда. Чем уже автокорреляционная функция, тем меньше сказывается влияние предыдущих или последующих членов ряда на рассматриваемое значение.

387

На основании общего определения автокорреляционной функции вводится понятие выборочной автокорреляционной функции временного ряда.

В качестве примера можно привести выражения автоковариационной и автокорреляционной функций для стационарного временного ряда:

К(х) = — 5>(0-*I*(f + T)-Jc], т = 1,2,...,и-1, (14.6)

і и-т

г, = ^ ' (14-7)

-\%x(t)-xf

где х = — V jc(0 — среднее значение. Величина х называется лагом.

В знаменателе автокорреляционной функции г стоит дисперсия членов ряда

1 "

а2 = -ХМ0-*]2

nt=l

О Пример. Найти коэффициент автокорреляции г\% временного ряда для разных значений лага на основании десяти наблюдений, представленных стационарным рядом:

Вначале определяем среднее значение членов временного ряда:

= 380,8.

х =

421 + 392 + ... + 354 3808

10 10 10

Подсчитаем значения выборочного коэффициента автокорреляции для следующих значений лага: т = 1, 2, 3, 4, 5. Для этого составим таблицу подсчетов, в которую внесем разности x(t) х и x(t + х) х, а также их произведения (табл. 14.1).

388

Находим значения ковариационной функции по формуле (14.6):

т= 2698,96 = т\%\%. -4572

К(3) = -Ч^= = -653,14;

К(5) =

7

3839,92

= 767,98.

К{2) = = -445,585;

8

775 44

К{4) = = 129,24;

Определяем а2:

а2 = (1616,04 + 125,44 + 492,84 + 948,64 + 282,24 + 635,04 +

+ 1383,84 + 1,44 + 3943,84 + 718,24)/10 = 1014,76.

= -0,439;

Ру =

Вычисляем коэффициенты автокорреляции:

^45,585

1014,76 129,24 1014,76

= -0,644;

= 0,127;

п =

Га =

Представим полученные значения на графике (рис. 14.3).

299,88

г, = = 0,296;

390

На рис. 14.3 штриховой линией отмечены возможные продолжения значений коэффициента автокорреляции. Коэффициент автокорреляции имеет колебательный затухающий характер. Это говорит о том, что по мере удаления от данной точки / стохастическая связь между значениями членов временного ряда уменьшается. •

14.13.4. Модели авторегрессии временных рядов

Рассмотрим стационарный временной ряд. В общем случае наблюдаемые значения х( в момент t зависят и от наблюдаемых значений в предшествующие моменты x(_v х{_2, ... . Модели такого типа носят название авторегрессионных. Так, авторегрессионная модель р-го порядка имеет вид

х = Ф0 + OjXM + Ф2х{_2 + ... + Ф^_р + £t, t= 1, 2,п.

Частным случаем такой модели является авторегрессионная модель первого порядка, в которой исследуемый процесс х( в момент t зависит только от его значений в предыдущий момент t 1 (марковский процесс):

х, = Ф0 + Ф1х,_1 + zt, t=l,2,...,n.

Использование метода наименьших квадратов (см. п. 15.2) позволяет получить авторегрессионную модель такого ряда, т.е. оценить коэффициенты Ф0, Фр ....

Случайные составляющие et в общем случае тоже коррелирован ы с предыдущими значениями efl, є,_2,.... Поэтому модель временного ряда следует записать в виде

х, ~ фЛ-і" фЛ-2 ФА-Р = 5 + zt ~ 0 А-1" " \%гы> t= 1, 2, ...,п,

где 8 — постоянная величина.

С целью более компактной записи указанных моделей вводится так называемый оператор сдвига L, который обеспечивает сдвиг значения переменной на один такт назад:

Lx=xt_v

391

Вводятся также полиномы от оператора сдвига ФЩ = -Ф1ЬФр1?, Q(L) = l-QlL-QgLq. В этом случае рассматриваемая модель примет вид ФЩх{ = 8 + в(Щ.

Такая модель носит название модели авторегрессии и скользящего среднего (ARMA(p, q) модель).

Частным случаем этой модели является модель AR(1), или ARMA(1, 0), в которой q = 0,р = 1:

х( ФуХ^у = 8 + ef

Другим примером является модель скользящего среднего ARMA(0, q), или MA(q):

xt = 8 + Q(L)et.

14.13.5. Разностные модели. Модель Бокса — Дженкинса

Неслучайная составляющая случайной функции для широкого круга экономических процессов может быть представлена в виде полинома степени р

Лг,в) = е0+е1/+... + е/.

Исключение из временного ряда такой функции во многих случаях позволяет обеспечить стационарность случайных остатков. С этой целью используется переход к разностным моделям.

Рассмотрим процедуру выделения во временном ряде полиномиальной составляющей. Пусть временной ряд определяется своими значениями в точках 1, 2,и:

х(1), х(2), ...,х(п).

Составляются разности первого, второго и последующих порядков:

Ax(t)=x(t)-x(t-i), t=,2, ...,п

A2x(t) = Ax(t) Ax(t 1) = [x(t) x(t 1)] [x(t 1) x(t 2)] = x(t) 2x(t -l)+x(t-2) и т.д.

392

Последовательное исследование таких разностей позволяет исключить неслучайную составляющую. В самом деле, пустьр=. Тогда

x(f) = 90 +0^+6(0, t=l,2,...,n.

Имеем

Ax(t) = x(t) x(t 1) = 0О + 6^ + є(0 0О 0lVr1) e(t1) 0j + [є(ґ) e(t1)],

A2x(t) = Ax(t) Ax(t 1) = є(г) є(г1) -e(t-l) + e(t-2) = e(0 2e(t 1) + e(t 2) и т.д.

Таким образом, неслучайная составляющая временного ряда, определяемая параметрами 0О, 0р оказалась исключенной, и вторая разность ее уже не содержит.

В случае р = 2 исключение неслучайной составляющей

/(0 = 00 + 0^+0/ происходит на уровне третьих разностей.

Соответствующая модель, включающая разностные составляющие, носит название модели Бокса — Дженкинса или модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС(Л, q, к) модель — русское название или ARIMA Model — английское). Эта модель имеет вид

Ф(Х)Д=0* + 0(Х)є,,

где Ф(Х) — оператор сдвига порядка р; 0(Х) — оператор сдвига порядка q; к — максимальная степень разности; г( — случайная составляющая с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией а2; 0* — неслучайная составляющая.

Методология Бокса — Дженкинса подбора подходящей модели авторегрессии включает несколько этапов и отражается в пакетах стандартных программ на ЭВМ.

На первом этапе оценивается существование нестационарных составляющих и обеспечивается получение стационарного ряда. Такая оценка может быть проведена и визуальным анализом графика функции, и путем построения графика выборочной автокорреляционной функции — коррелограммы — по формуле

£ (xt x)(xt_k х)

гк=<^4 . к = 1,2,...,

£(*,-*)2

где х — выборочное среднее значений временного ряда.

393

Для стационарного ряда значение выборочной автокорреляционной функции быстро убывает. Если этого не происходит, то применяется операция взятия последовательной разности, составляется новый ряд и повторяется тестирование. На практике последовательная разность берется, как правило, не более двух раз.

Порядки авторегрессии р скользящего среднего q рекомендуется брать возможно более низкого значения. Если нет сезонной компоненты, то используют условие

p + q<3.

Следующий этап включает оценивание параметров модели и вычисление остатков. Для оценивания параметров модели используют либо МНК (см. п. 15.2), либо метод наибольшего правдоподобия (см. п. 14.10).

Последний этап представляет собой прогноз значений временного ряда.