15.2. метод наименьших квадратов

15.2. метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК) служит для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные погрешности. Среди многих приложений метода наиболее важным является нахождение наилучшего уравнения (функциональной зависимости) определенного вида для представления опытных данных.

Процесс выражения опытных данных функциональной зависимостью с помощью метода наименьших квадратов состоит из двух этапов:

выбор вида искомой формулы;

подбор параметров для данной формулы.

На рис. 15.4 приведены опытные данные, для которых в качестве эмпирической формулы (полученной на основании опытных данных) можно принять линейную зависимость у = ах + Ъ. Для данных, приведенных на рис. 15.5, эмпирическую зависимость целесообразно принять в виде у ах1 + Ьх + с.

402

Рис. 15.4

В соответствии с идеей метода наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму

(15.1)

где хр yt — значения опытных данных; у (х.) — значение функции, взятое на эмпирической зависимости в точке х(; п — число опытов.

Для линейной эмпирической формулы сумма (15.1) имеет вид

•У = Х(ах, + *-у,)2, (15.2)

i=i

а для квадратической зависимости — следующий вид:

л

s = ХК2 + bxi +с Уд2

(15.3)

і=і

Минимум функции (15.2) и (15.3) имеют в тех точках, в которых частные производные от S по параметрам а, Ъ, с обращаются в нуль.

В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают нормальную систему линейных уравнений.

В случае линейной эмпирической зависимости составляют нормальную систему двух уравнений с двумя неизвестными а и Ъ:

a^xf + Ь£х( Хед,

i=i

л

г=1 1=1 л

(15.4)

a£xi + bn = ^yi.

i=i i=i

403

В случае квадратической зависимости нормальная система состоит из трех уравнений с тремя неизвестными:

л л л л

1=1

л

1=1

л

1=1

л

1=1

л

а^х] + b^xf + c^Xf = Хад.

1=1

л

1=1 л

1=1 1=1

л

1=1 1=1 1=1 Кроме линейной и квадратической зависимости в практических задачах обработки результатов наблюдений используют и другие зависимости, например гиперболическую зависимость

у = а + —. х

(15.5)

Для зависимости (15.5) система нормальных уравнений имеет вид

Л ^ л

і=і Лі i=i

1=1 XI 1=1*; 1=1 Xl

О Пример. Опытные данные о значениях х и у представлены в следующей таблице:

Анализ опытных данных показывает, что в качестве эмпирической зависимости можно использовать линейную зависимость у = ах + Ь. Найти методом наименьших квадратов значения а и Ь.

Коэффициенты нормальной системы уравнений находим с помощью таблицы подсчетов (табл. 15.1).

Подставляя полученные в таблице данные в систему уравнений (15.4), имеем

(15.6)

f91a + 21Z> = -31, І21а + 6й = 15.

404

у = ^,67х+19,2. •

Не существует общего правила для выбора подходящего вида эмпирической формулы; можно лишь догадываться о подходящем виде уравнения по форме кривой, изображающей данные. Однако существуют способы, с помощью которых можно проверить, удачна догадка или нет.

Для наиболее часто встречающихся зависимостей с двумя napalm А «V Ъ 1

метрами, а именно: у = ах + о; у = ах , у = ао , у = а + —;у = ;

х ах + о

х

у ;у = algx + Ь, — эмпирическую формулу можно выбирать

ах + Ь с помощью табл. 15.2.

Для проверки пригодности выбранной эмпирической формулы, используя исходные данные, находят значения xs и ys. Затем сравнивают ys, соответствующее xs в исходных данных, со значением ys. Если xs не находится среди исходных данных х., то соответствующее значение можно определить с помощью линейной интерполяции:

хі+1 ~ хі

где х. и х.+1 — промежуточные значения, между которыми содержится х, (*,.<*,< хм).

Если величина ys ys большая, то соответствующая эмпирическая формула непригодна.

Зависимости I—VII, приведенные в табл. 15.2, монотонные и, следовательно, пригодны только в том случае, если в исходных данныхх.+1 -х. > 0, & yi+l -yi обладает постоянным знаком.

О Пример. Определить вид эмпирической формулы, отвечающей следующей таблице:

Подбор эмпирической формулы по указанным критериям приведен в табл. 15.3. •

406